Enunciado

Calcule o limite, se existir.

22) underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 + h) - 1)/(h)

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos calcular o seguinte limite, caso ele exista:

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 + h) - 1)/(h)

Para começar vamos adaptar um pouquinho! Basta multiplicarmos numerador e denominador por sqrt(1 + h) + 1 :

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 + h) - 1)/(h) . (sqrt(1 + h) + 1)/(sqrt(1 + h) + 1) = underset(h -> 0)(lim) (1 + h - 1)/(h ( sqrt(1 + h) + 1 ))

= underset(h -> 0)(lim) (h)/(h sqrt(1 + h) + h)

Usando a propriedade 5, limite de um quociente é o quociente dos limites:

underset(h -> 0)(lim) (h)/(h sqrt(1 + h) + h) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) ( h sqrt(1 + h) + h ))

Usando a propriedade 1, a soma dos limites é o limite da soma:

(underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) ( h sqrt(1 + h) + h )) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h sqrt(1 + h) + underset(h -> 0)(l i m ) h)

Usando a propriedade 4, o limite de um produto é o produto dos limites:

(underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h sqrt(1 + h) + underset(h -> 0)(l i m ) h) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . underset(h -> 0)(l i m) sqrt(1 + h) + underset(h -> 0)(l i m ) h)

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de número 11:

Aplicando:

(underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . underset(h -> 0)(l i m) sqrt(1 + h) + underset(h -> 0)(l i m ) h) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . sqrt(underset(h -> 0)(l i m) ( 1 + h )) + underset(h -> 0)(l i m ) h) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . sqrt(underset(h -> 0)(l i m) 1 + underset(h -> 0)(l i m) h) + underset(h -> 0)(l i m ) h)

Isolando underset(h -> 0)(l i m) h :

= (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . (sqrt(underset(h -> 0)(l i m) 1 + underset(h -> 0)(l i m) h) + 1)) = (underset(h -> 0)(l i m) h)/(underset(h -> 0)(l i m) h . (sqrt(underset(h -> 0)(l i m) 1 + underset(h -> 0)(l i m) h) + 1)) = (1)/(sqrt(underset(h -> 0)(l i m) 1 + underset(h -> 0)(l i m) h) + 1)

Usando a de número 7 e 8. O limite de uma constante é a própria constante e o limite de x tendendo a a é igual a a :

(1)/(sqrt(underset(h -> 0)(l i m) 1 + underset(h -> 0)(l i m) h) + 1) = (1)/(sqrt(1 + 0) + 1) = (1)/(2)

Prontinhoo!

Resposta

underset(h -> 0)(lim) (sqrt(1 + h) - 1)/(h) = (1)/(2)

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