Enunciado

Calcule o limite, se ele existir.

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 1

Iremos analisar o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Primeiro passo aqui é substituir o valor do limite, que nesse caso resulta em:

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h =     ( x 3 - x 3 ) 0 = 0 0  

Opa, caímos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Dessa forma, vamos tentar manipular o numerador e o denominador afim de retirar essa indeterminação.

Podemos perceber que nesse limite há um produto notável do tipo:

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Dessa forma, podemos abri-lo e ver se conseguimos anular algum termo depois.

Passo 2

Começaremos o exercício abrindo o produto notável presente no numerador, com isso, obtemos:

lim h → 0 ⁡ ( x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ) - x 3 h

lim h → 0 ⁡ x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x 3 h

Agora simplificando o numerador, temos:

lim h → 0 ⁡ ( 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ) h

Agora iremos fatorar o numerador, colocando o termo h em evidência, com isso, temos:

lim h → 0 ⁡ h ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) h

Agora simplificando o termo h que aparece no numerador e no denominador, obtemos:

lim h → 0 ⁡ ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 )

Passo 3

Agora iremos substituir os valores para h , obtendo:

3 x 2 + 3 x 0 + h 2 = 3 x 2

Resposta

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = 3 x 2

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Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ; 1,4
Use um recurso computacional com capacidade para tratar de somatórios ou um CAS para obter um valor aproximado da área entre a curva y = f ( x ) e o intervalo especificado com n = 10 ,20e50 subinterva
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 9 - x 2 ; 0,3
Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 4 - 1 4 x 2 ; 0,3
Use a Definição 5.4.3 tomando como x k * como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = x 2 ;- 1 , 1