Enunciado

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x ( 3 x 2 + 6 )

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x ( 3 x 2 + 6 )

Para isso, o enunciado sugere que mostremos as Propriedades dos Limites que iremos utilizar para resolver ele.

Mas que propriedades são essas??

Vamos citar algumas aqui:

  1. Propriedade da soma:
  2. lim x → a ⁡ f x + g x = lim x → a ⁡ f x + lim x → a ⁡ g x

  3. Propriedade da subtração:
  4. lim x → a ⁡ f x - g x = lim x → a ⁡ f x - lim x → a ⁡ g x

  5. Multiplicação por constante:

lim x → a ⁡ k * f x = k * lim x → a ⁡ f x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Antes de a gente começar, vamos distribuir a nossa expressão:

x 2 + x 3 x 2 + 6 = 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x  

Assim, aplicando no limite, temos:

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x ( 3 x 2 + 6 ) = lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x  

Agora vamos resolver!!

Passo 3

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da adição:

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + lim x → - 1 ⁡ 6 x 2   + lim x → - 1 ⁡ 3 x 3   + lim x → - 1 ⁡ 6 x

Agora, vamos aplicar a propriedade da multiplicação pela constante:

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = 3 * lim x → - 1 ⁡ x 4 + 6 * lim x → - 1 ⁡ x 2   + 3 * lim x → - 1 ⁡ x 3   + 6 * lim x → - 1 ⁡ x

Agora, aplicando o limite em cada termo, temos:

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = 3 * - 1 4 + 6 * - 1 2 + 3 * - 1 3 + 6 * - 1

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = 3 * 1 + 6 * 1 + 3 * - 1 - 6

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = 3 + 6 - 3 - 6

lim x → - 1 ⁡ 3 x 4 + 6 x 2 + 3 x 3 + 6 x   = 0

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 2 + x ( 3 x 2 + 6 ) = 0

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