Enunciado

Calcule o limite, se existir.

22) lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h

Passo 1

Opa, bora lá! Precisamos calcular o seguinte limite, caso ele exista:

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h

Substituindo 0, achamos uma indeterminação:

1 + 0 - 1 0 = 0 0

Então vamos fazer algumas manipulações matemáticas pra ver se a gente acaba com essa indeterminação.

Agora vou te dar uma dica! Sempre que você ver raízes e subtrações, desconfie de que tem que multiplicar pelo conjugado. Muitas vezes vai funcionar.

O conjugado de 1 + h - 1 é 1 + h + 1 . Então vamos multiplicar o numerador e o denominador por

1 + h - 1

Passo 2

Vamos multiplicar numerador e denominador por 1 + h + 1 :

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h . 1 + h + 1 1 + h + 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h ( 1 + h + 1 )

= lim h → 0 ⁡ h h 1 + h + h

Agora vamos simplificar a expressão, cortando o h do numerador com o do denominador:

= lim h → 0 ⁡ 1 1 + h + h

E agora vamos aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 3

Usando a propriedade 5 (do livro), limite de um quociente é o quociente dos limites:

lim h → 0 ⁡ 1 1 + h + h = l i m h → 0   1 l i m h → 0 ( 1 + h + h )

Usando a propriedade 1, a soma dos limites é o limite da soma:

l i m h → 0   1 l i m h → 0 ( 1 + h + h ) = l i m h → 0   1 l i m h → 0   1 + h + l i m ⁡ h → 0 h

Agora vamos usar a propriedade de número 11:

Aplicando:

l i m h → 0   1 l i m h → 0   1 + h + l i m ⁡ h → 0 h = l i m h → 0   1 l i m h → 0 ( 1 + h ) + l i m ⁡ h → 0 h

E novamente, o limite da soma é a soma dos limites:

l i m h → 0   1 l i m h → 0 ( 1 + h ) + l i m ⁡ h → 0 h = l i m h → 0   1 l i m h → 0 1 + l i m h → 0   h + l i m ⁡ h → 0 h

O limite de uma constante é a própria constante:

l i m h → 0   1 l i m h → 0 1 + l i m ⁡ h → 0 h + l i m ⁡ h → 0 h = 1 1 + l i m ⁡ h → 0 h + l i m ⁡ h → 0 h

E o limite de x tendendo a a é igual a a :

1 1 + l i m ⁡ h → 0 h + l i m ⁡ h → 0 h = 1 1 + 0 + 0 = 1

Prontinhoo!

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 + h - 1 h = 1

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