Enunciado

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 4 - 1 4 x 2 ; 0,3

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade direita, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + k Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 n

x k * = 3 k n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 - 1 4 3 k n 2 3 n  

Vamos dar uma melhorada nisso:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 4 - 9 k 2 4 n 2 3 n  

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 12 n - 27 k 2 4 n 3  

Separamos...

A = lim n → ∞ ⁡ 12 n ∑ k = 1 n 1 - 27 4 n 3 ∑ k = 1 n k 2  

Resolvemos agora os somatórios:

A = l i m n → ∞ 12 n n - 27 4 n 3 n n + 1 2 n + 1 6  

A =   l i m n → ∞ 12 - 27 24 n 2 2 n 2 + 3 n + 1

A =   l i m n → ∞ 12 - 54 24 - 81 24 n - 27 24 n 2 ⏟ 0  

A = 12 - 54 24 = 39 4

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da direita😊

Resposta

A = 39 4

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