Enunciado

Calcule o limite:

underset(x -> - pi // 6)(lim) sqrt(1 + cos (pi * c o s s e c (x)))

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

underset(x -> x_0)(lim) s e n (x) = s e n ( underset(x -> x_0)(lim) x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x_0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, (0)/(0) ou (oo)/(oo) por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor x = - pi // 6 na função. Sendo assim, temos:

underset(x -> - pi // 6)(lim) sqrt(1 + cos (pi * c o s s e c (x))) = sqrt(underset(x -> - pi // 6)(lim) [1 + cos (pi * c o s s e c (x))])

sqrt(underset(x -> - pi // 6)(lim) [1 + cos (pi * c o s s e c (x))]) = sqrt(1 + cos (underset(x -> - pi // 6)(lim) pi * c o s s e c (x)))

sqrt(1 + cos (underset(x -> - pi // 6)(lim) pi * c o s s e c (x))) = sqrt(1 + c o s ( pi * - 2 ))

sqrt(1 + c o s ( - 2 pi )) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Portanto, o valor do nosso limite é sqrt(2) .

Resposta

underset(x -> - pi // 6)(lim) sqrt(1 + cos (pi * c o s s e c (x))) = sqrt(2)

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