Calcule ∫ C f d s , onde

c) f(x, y) = y^2 e C tem equações paramétricas x = t - sent, y = 1 - cost, 0 <= t <= 2pi .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamo que vamo com o Responde Aí em mais um exercício!! :D

Para calcularmos a integral de linha, precisamos parametrizar a nossa função. Mas por sorte nós já temos as equações paramétricas da curva. Logo, ela pode ser escrita como:

C : σ t = t - s e n t ,   1 - cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, a curva parametrizada terá sua integral dada por:

∫ C f d s = ∫ f σ t ∙ σ ' t d t

E a nossa curva terá o valor:

C : σ ' t = 1 - cos ⁡ t , s e n t

Ou seja:

C :   σ ' t = 1 - cos ⁡ t 2 + s e n t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Vamos aplicar a identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Para obter:

C :   σ ' t = 1 - 2 cos ⁡ t + 1 = 2 - 2 cos ⁡ t

Ou ainda:

C :   σ ' t = 2 1 - cos ⁡ t = 2 1 - cos ⁡ t

Passo 2

Então, nossa integral pode ser escrita como:

∫ C f d s = ∫ C y 2 d s

Ou seja:

∫ C y 2 d s = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 2 2 1 - cos ⁡ t d t

⇒ 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 2 1 - cos ⁡ t 1 / 2 d t = 2 ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ t 5 / 2 d t

Se usarmos a identidade trigonométrica:

s e n 2 u = 1 - cos ⁡ 2 u 2

E assumirmos:

t = 2 u → u = t 2

Nossa integral será dada por:

2 ∫ 0 2 π 2 s e n 2 t 2 5 / 2 d t = 2 ∫ 0 2 π 32 s e n 5 t 2 d t

Podemos reescrevê-la como:

2 ∫ 0 2 π 32 s e n 5 t 2 d t = 64 ∫ 0 2 π s e n t 2 s e n 2 t 2 2 d t

Agora, usando outra identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

E com a substituição:

⇒ 8 ∫ 0 2 π s e n t 2 1 - cos 2 ⁡ t 2 2 d t = 8 ∫ 0 2 π s e n t 2 1 - 2 cos 2 ⁡ t 2 + cos 4 ⁡ t 2 d t

Obtendo:

∫ C f d s = 8 ∫ 0 2 π s e n t 2 - 2 s e n t 2 cos 2 ⁡ t 2 + s e n t 2 cos 4 ⁡ t 2 d t

Passo 3

Separando as integrais:

∫ C f d s = 8 ∫ 0 2 π s e n t 2 d t + 2 ∫ 0 2 π - s e n t 2 cos 2 ⁡ t 2 d t + ∫ 0 2 π s e n t 2 cos 4 ⁡ t 2 d t

Tal que a primeira pode ser resolvida diretamente:

∫ 0 2 π s e n t 2 d t = - 2 cos ⁡ t 2 | 2 π 0

Que resulta em:

- 2 cos ⁡ t 2 | 2 π 0 = - 2 cos ⁡ π - cos ⁡ 0

⇒ - 2 - 1 - 1 = 4

Já as outras duas podem ser resolvidas pelo método da substituição simples com:

u = cos ⁡ t 2 → d u = - 1 2 s e n t 2 d t

Tal que:

Quando t = 2 π → u = - 1

Quando t = 0 → u = 1

Logo, a segunda integral será calculada por:

2 ∫ 0 2 π - s e n t 2 cos 2 ⁡ t 2 d t = 2 ∫ 1 - 1 u 2 2 d u = - 4 ∫ - 1 1 u 2 d u

Resultando em:

- 4 ∫ - 1 1 u 2 d u = - 4 u 3 3 | 1 - 1

E substituindo os limites de integração:

- 4 u 3 3 | 1 - 1 = - 4 3 1 - - 1 = - 8 3

Enquanto a terceira integral será dada como:

∫ 0 2 π s e n t 2 cos 4 ⁡ t 2 d t = ∫ 1 - 1 u 4 - 2 d u = 2 ∫ - 1 1 u 4 d u

Com isso:

2 ∫ - 1 1 u 4 d u = 2 u 5 5 | 1 - 1

Isso nos dá:

2 u 5 5 | 1 - 1 = 2 5 1 - - 1 = 4 5

Passo 4

Por fim, juntando todos os resultados obtidos, teremos:

∫ C f d s = 8 4 - 8 3 + 4 5

E encontrando o MMC:

8 4 - 8 3 + 4 5 = 8 60 - 40 + 12 15

Logo:

∫ C f d s = 256 15

Resposta

256 15

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