4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

  1. F(x, y) = (x^2 - 2xy, y^2 - 2xy) e C é a parábola y = x^2 de -2,4 a 1,1

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a parábola y = x 2   de - 2,4 a 1,1 logo podemos pensar numa parametrização tranquilinha

γ t = t   ,   t 2

γ ' t = 1,2 t

Com o seguinte intervalo

t ∈ - 2,1

Agora basta parametrizarmos nossa função

F   x , y = x 2 - 2 x y ,   y 2 - 2 x y

F   γ t = t 2 - 2 t 3 ,   t 4 - 2 t 3

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

= ∫ - 2 1 t 2 - 2 t 3 ,   t 4 - 2 t 3 ⋅ 1,2 t d t

= ∫ - 2 1 t 2 - 2 t 3 +   2 t 5 - 4 t 4 d t  

=   t 3 3 - 2 4 t 4 + 2 6 t 6 - 4 5 t 5 - 2 1  

= 1 3 1 - ( - 8 ) - 1 2 1 - 16 + 1 3 1 - 64 - 4 5 1 - - 32

=   - 369 10

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → =   - 369 10

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