Enunciado

4. Calcule

∫ C F ⋅ d   r →

Onde

  1. F   x , y = x 2 - 2 x y ,   y 2 - 2 x y e C é a parábola y = x 2   de - 2,4 a 1,1

Passo 1

OIII , estamos na seção agora de integrais de linha em campo vetorial. Pra mim é mais fácil que campo escalar, porque não precisamos tirar modulo das nossas parametrizações. Então temos um passo a menos. Quando temos uma integral de linha podemos fazer uma parametrização para deixá-la mais simples

∫ C F ⋅ d   r →

Logo se dissermos que

  r = γ t

d r = γ ' t d t

Assim, nossa integral parametrizada fica no seguinte formato

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

Bora cair dentro !!!! \o/

Passo 2

No nosso caso temos que C é a parábola y = x 2   de - 2,4 a 1,1 logo podemos pensar numa parametrização tranquilinha

γ t = t   ,   t 2

γ ' t = 1,2 t

Com o seguinte intervalo

t ∈ - 2,1

Agora basta parametrizarmos nossa função

F   x , y = x 2 - 2 x y ,   y 2 - 2 x y

F   γ t = t 2 - 2 t 3 ,   t 4 - 2 t 3

Passo 3

Bora integrar!

∫ C F ⋅ d   r → =   ∫ t 0 t 1 F γ ( t ) ⋅ γ ' t d t

= ∫ - 2 1 t 2 - 2 t 3 ,   t 4 - 2 t 3 ⋅ 1,2 t d t

= ∫ - 2 1 t 2 - 2 t 3 +   2 t 5 - 4 t 4 d t  

=   t 3 3 - 2 4 t 4 + 2 6 t 6 - 4 5 t 5 - 2 1  

= 1 3 1 - ( - 8 ) - 1 2 1 - 16 + 1 3 1 - 64 - 4 5 1 - - 32

=   - 369 10

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ C F ⋅ d   r → =   - 369 10

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Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:18. ∫ C x d x + y d y , onde C é o triângulo de vértices 0,0 ,0,1 e ( 1,1 ) no sentido anti-horário.
Seja γ t = R cos ⁡ t ,Rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 πR0 . Mostre que ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y Não depende de R
Calcule ∫ γ xd x + yd y , sendo γ dada por x = t 2 e y = s e nt , 0 ≤ t ≤ π / 2 .
Calcule ∫ γ - y 4 x 2 + y 2 d x + x 4 x 2 + y 2 d y Onde γ tem por imagem a elipse 4 x 2 + y 2 = 9 e o sentido do percurso é o anti-horário.
Calcule ∫ γ xd x - yd y , onde γ é o segmento de extremidades 1,1 e 2,3 , percorridos no sentido de 1,1 para 2,3 .