Enunciado

Calcule

∬_S^() (r o t F . n) d s ,

Onde F (x , y , z) = (2 x y , 0 , - x z) e S é o elipsoide de equação

(x^2)/(4) + (y^2)/(9) + (z^2)/(16) = 1 .

Passo 1

Se liga! Podemos começar calculando o r o t F .

r o t F = [[[x,y,z],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[2,x,y,0,-,x,z]]] = (0 , z , - 2 x)

Passo 2

Se liga! Como estamos tratando de uma superfície fechada, podemos usar o teorema de Gauss.

∬_S^() (vec F . vec n) d s = ∭_W^() d i v (vec F) d V

No nosso caso fica da seguinte forma

∬_S^() (r o t vec F . vec n) d s = ∭_W^() d i v (r o t vec F) d V

Isso facilita bastante a coisa, pois pelas identidades o divergente do rotacional é sempre zero.

d i v (r o t F) = 0 .

Portanto

∭_W^() d i v (r o t vec F) d V = 0 .

Assim podemos concluir que

∬_S^() (r o t F . n) d s = 0 .

Resposta

∬_S^() (r o t F . n) d s = 0 .

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