Enunciado

Calcule

∬ grad xx (y i) * n d sigma

Onde S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 1 , z >= 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A curva na base da superfície encontra-se no plano z = 0 . É um círculo de raio r = 1 centrado na origem x^2 + y^2 = 1 , que pode ser descrito pela equação paramétrica

C : r (theta) = cos theta i + sen theta j

Onde 0 <= theta <= 2 pi . Do teorema de Stokes temos que para F = y i

∬ (grad xx F) * n d sigma = oint F * d r

Onde

d r = (d r)/(d theta) d theta = (- sen theta i + cos theta j) d theta

O campo avaliado na equação paramétrica é

F (r (theta)) = y (theta) i + sen theta i

Então, com isso, temos a seguinte integral

∬ grad xx (y i) * n d sigma = int_0^(2 pi) (sen theta i) * (- sen theta i + cos theta j) d theta

Desenvolvendo os termos

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - int_0^(2 pi) sen^2 theta d theta = - int_0^(2 pi) ((1 - cos ( 2 theta ))/(2)) d theta

Que tem como resultado

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - (1)/(2) (2 pi - 0) + [(1)/(4) sin (2 theta)]_0^(2 pi) = - pi

Finalmente, descobrimos que

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - pi

Resposta

∬ grad xx (y i) * n d sigma = - pi

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7. Seja σ a superfície x ,y ,z ∈R 3x 2+y 2=1 ,0≤z≤1 } e sejaum campo vetorial de classe C1 num aberto contendo σ. Justifique aafirmação ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S =∫ γ 1 F → ⋅ d r + ∫ γ 2 F → ⋅ d r onde Γ1
2. Seja F um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω. Sejam σ1 e σ2 porções de superfícies regulares com fronteiras Γ1 e Γ2 orientadas positivamente com relação às normais n 1 en 2 tais que I mσ 1eI m
5. Seja F ( x ,y ,z )= ( 0,0 , x 3 ) e seja σ a superfície z = y + 4 com 1≤x 2 + y 2 ≤4 , com normal apontando para baixo. Calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S
4. Seja F x ,y ,z = ( x z 2 , z 4, y z ) e seja σ a superfíciex 2 +y 2 +z 2 =4 , com2≤z≤ 3 , com normal apontando para cima. Utilizando o exercício anterior, calcule ∫ ∫ σ∇ × F → ⋅n →d S