Calcule

∬ ∇ × y i ∙ n d σ

Onde S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 1, z >= 0 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A curva na base da superfície encontra-se no plano z = 0 . É um círculo de raio r = 1 centrado na origem x 2 + y 2 = 1 , que pode ser descrito pela equação paramétrica

C : r θ = cos ⁡ θ i + sen ⁡ θ j

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π . Do teorema de Stokes temos que para F = y i

∬ ∇ × F ∙ n d σ = ∮ F ∙ d r

Onde

d r = d r d θ d θ = - sen ⁡ θ i + cos ⁡ θ j d θ

O campo avaliado na equação paramétrica é

F r θ = y θ i + sen ⁡ θ i

Então, com isso, temos a seguinte integral

∬ ∇ × y i ∙ n d σ = ∫ 0 2 π sen ⁡ θ i ∙ - sen ⁡ θ i + cos ⁡ θ j   d θ

Desenvolvendo os termos

∬ ∇ × y i ∙ n d σ = - ∫ 0 2 π sen 2 ⁡ θ d θ = - ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ

Que tem como resultado

∬ ∇ × y i ∙ n d σ = - 1 2 2 π - 0 + 1 4 sin ⁡ 2 θ 0 2 π = - π

Finalmente, descobrimos que

∬ ∇ × y i ∙ n d σ = - π

Resposta

∬ ∇ × y i ∙ n d σ = - π

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