Enunciado

6. Seja F = ( P   ,   Q   ,   R ) de classe C 1 no aberto R 3 -   { ( 0,0 ,   0 ) } . Seja σ a fronteira do conjunto K   =   { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3   |   x ²   +   y ²   -   1   ≤   z   ≤   1   -   x ² -   y ² } com normal apontando para fora de K. Mostre que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = 0

Passo 1

Neste caso não podemos usar o teorema de Stolkes por um único motivo. Não temos uma borda. Nossa superfície é fechada. Então a pergunta é o que fazer ? Poderíamos realmente calcular o fluxo dessa função , mas vou te ensinar um truque. O teorema de Gauss

∫ ∫ σ   F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F → d V  

Ou seja o fluxo de vetores que atravessa a superfície é igual a fonte desses vetores dentro do volume interior a essa superfície. De um jeito simples é que iguala o fluxo a sua fonte. E por isso a região tem que ser fechada. Para não ter nenhum “vazamento de fluxo”.

NO nosso caso temos uma superfície fechada então vamos aplicar Gauss aqui. Com um truque, vamos substituir

F → ∇ × F →

Afinal esse F do teorema é genérico. Então ficamos com

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V  

E uma propriedade importante é que

∇   .     ∇ × A → = 0

Para qualquer que seja essa função vetorial. Logo temos que

∫ ∫ σ   ∇ × F → ⋅   n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     ∇ × F → d V = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = x y i → + 2 z j → + ( 3 y ) k → , C é a curva de inter
Se S é uma esfera e F → satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que ∬ S r o tF → ⋅ d S → = 0
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y 2 i → + x j → + z 2 k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do plano z = 1