Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

x^2 + 3x \* tg(x)

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ( x ) = x 2 + 3 x tg ⁡ x ' = x 2 ' + ( 3 x tg ⁡ x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

k f x ' = k f ' ( x )

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos usar a regra do polinômio para calcular a primeira derivada:

x 2 ' = 2 x 2 - 1 = 2 x

Passo 4

Agora na outra vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = 3 x

e

g x = tg ⁡ x

Assim:

( 3 x tg ⁡ x ) ' = h ' x g x + g ' x h x = 3 x ' tg ⁡ x + tg ⁡ x ' 3 x

Passo 5

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da multiplicação por constante:

h ' ( x ) = 3 x ' = 3 x ' = 3 x 1 - 1 = 3 x 0 = 3 ⋅ 1 = 3

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Juntando:

( 3 x tg ⁡ x ) ' = 3 x ' tg ⁡ x + tg ⁡ x ' 3 x = 3 tg ⁡ x + sec 2 ⁡ x 3 x = 3 tg ⁡ x + 3 x sec 2 ⁡ x

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = x 2 ' + ( 3 x tg ⁡ x ) ' = 2 x + 3 tg ⁡ x + 3 x sec 2 ⁡ x

Resposta

f ' ( x ) = 2 x + 3 tg ⁡ x + 3 x sec 2 ⁡ x

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