Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

x+1 / (x \* sen(x))

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = x + 1

e

g x = x sen ⁡ x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = x + 1 x sen ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ x sen ⁡ x - x + 1 ⋅ x sen ⁡ x ' x sen ⁡ x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h ' x = x + 1 ' = x 1 - 1 + 0 = x 0 = 1

Já para calcular g ' x vamos usar a regra do produto:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Temos que:

r x = x

e

s x = sen ⁡ x

Assim:

x sen ⁡ x ' = r ' x s x + s ' x r x = x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ x

Passo 4

Aqui nós vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 5

Vamos calcular r ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

r ' ( x ) = x ' = x 1 - 1 = x 0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra e da função trigonométrica:

s ' ( x ) = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 6

Agora é só substituir de volta na fórmula:

g ' x = x sen ⁡ x ' = r ' x s x + s ' x r x = x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ x = 1 ⋅ sen ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ x = sen ⁡ x + x cos ⁡ x

Passo 7

Agora é só voltar na primeira fórmula e pronto:

f ' x = x + 1 x sen ⁡ x ' = x + 1 ' ⋅ x sen ⁡ x - x + 1 ⋅ x sen ⁡ x ' x sen ⁡ x 2 = 1 ⋅ x sen ⁡ x - x + 1 ⋅ sen ⁡ x + x cos ⁡ x x 2 sen 2 ⁡ x = x sen ⁡ x - x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x + sen ⁡ x + x cos ⁡ x x 2 sen 2 ⁡ x = x sen ⁡ x - x sen ⁡ x - x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sen 2 ⁡ x = - x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sen 2 ⁡ x

Resposta

f ' ( x ) = - x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sen 2 ⁡ x

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