Enunciado

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(sec x)/(3 x + 2)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = sec x

e

g (x) = 3 x + 2

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((sec x)/(3 x + 2))^' = ((sec x)^' * (3 x + 2) - (sec x) * (3 x + 2) ')/((3 x + 2)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante, da multiplicação por constante, do polinômio e da função trigonométrica:

(c)^' = 0

(k f (x))^' = k f ' ( x )

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(sec (x))^' = sec (x) * tg (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h^' (x) = (sec x)^' = sec (x) tg (x)

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante e da função constante:

g^' (x) = (3 x + 2)^' = 3 (x)^' + (2)^' = 3 x^(1 - 1) + 0 = 3 x^0 = 3 * 1 = 3

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((sec x)/(3 x + 2))^' = ((sec x)^' * (3 x + 2) - (sec x) * (3 x + 2) ')/((3 x + 2)^2) = (sec (x) tg (x) * (3 x + 2) - (sec x) * 3)/((3 x + 2)^2) = (3 x sec (x) tg (x) + 2 sec (x) tg (x) - 3 sec x)/((3 x + 2)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (3 x sec (x) tg (x) + 2 sec (x) tg (x) - 3 sec x)/((3 x + 2)^2)

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