Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

sec(x) / (3x + 2)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = sec ⁡ x

e

g x = 3 x + 2

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = sec ⁡ x 3 x + 2 ' = sec ⁡ x ' ⋅ 3 x + 2 - sec ⁡ x ⋅ 3 x + 2 ' 3 x + 2 2

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante, da multiplicação por constante, do polinômio e da função trigonométrica:

c ' = 0

k f x ' = k f ' ( x )

x n ' = n x n - 1

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função trigonométrica:

h ' x = sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante e da função constante:

g ' x = 3 x + 2 ' = 3 x ' + 2 ' = 3 x 1 - 1 + 0 = 3 x 0 = 3 ⋅ 1 = 3

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = sec ⁡ x 3 x + 2 ' = sec ⁡ x ' ⋅ 3 x + 2 - sec ⁡ x ⋅ 3 x + 2 ' 3 x + 2 2 = sec ⁡ x tg ⁡ x ⋅ 3 x + 2 - sec ⁡ x ⋅ 3 3 x + 2 2 = 3 x sec ⁡ x tg ⁡ x + 2 sec ⁡ x tg ⁡ x - 3 sec ⁡ x 3 x + 2 2

Resposta

f ' ( x ) = 3 x sec ⁡ x tg ⁡ x + 2 sec ⁡ x tg ⁡ x - 3 sec ⁡ x 3 x + 2 2

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