d) ∫ s e n 3 x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ s e n 3 x cos ⁡ x d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = c o s ( x )

Derivando,

d u = - s e n x d x

Isolando o fator sen ⁡ ( x ) d x , temos:

∫ s e n 3 x cos ⁡ x d x = ∫ s e n 2 x cos ⁡ x ⋅ s e n x d x

Como nossa substituição é u = c o s ( x ) , seria bom colocar o s e n 2 x em função de u !!

Lá da trigonometria, temos:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Logo,

s e n 2 x = 1 - u 2

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ s e n 2 x cos ⁡ x ⋅ s e n x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 1 - u 2 u - d u = - ∫ 1 - u 2 u d u

Quebrando em duas partes:

I = - ∫ d u u + ∫ u   d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Integrando, temos:

I = - ln ⁡ u + u 2 2 + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + cos 2 ⁡ x 2 + c

Pra deixar igual ao gabarito é só usar a relação fundamental de novo:

I = - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + 1 - sen 2 ⁡ x 2 + c = - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | - sen 2 ⁡ x 2 + c

Repara que o 1 2 entrou na constante 😉

Resposta

- l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | - sen 2 ⁡ x 2 + c

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