Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

(x + sen(x)) / (x - cos(x))

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = x + sen ⁡ x

e

g x = x - cos ⁡ x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = x + sen ⁡ x x - cos ⁡ x ' = x + sen ⁡ x ' ⋅ x - cos ⁡ x - x + sen ⁡ x ⋅ x - cos ⁡ x ' x - cos ⁡ x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h ' x = x + sen ⁡ x ' = x 1 - 1 + cos ⁡ x = x 0 + cos ⁡ x = 1 + cos ⁡ x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' x = x - cos ⁡ x ' = x 1 - 1 - - sen ⁡ x = x 0 + sen ⁡ x = 1 + sen ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = x + sen ⁡ x x - cos ⁡ x ' = x + sen ⁡ x ' ⋅ x - cos ⁡ x - x + sen ⁡ x ⋅ x - cos ⁡ x ' x - cos ⁡ x 2 = 1 + cos ⁡ x ⋅ x - cos ⁡ x - x + sen ⁡ x ⋅ 1 + sen ⁡ x x - cos ⁡ x 2 = x - cos ⁡ x + x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x - x + x sen ⁡ x + sen ⁡ x + sen 2 ⁡ x x - cos ⁡ x 2 = x - cos ⁡ x + x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x - x - x sen ⁡ x - sen ⁡ x - sen 2 ⁡ x x - cos ⁡ x 2 = - cos ⁡ x + x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x - x sen ⁡ x - sen ⁡ x - sen 2 ⁡ x x - cos ⁡ x 2

Resposta

f ' ( x ) = - cos ⁡ x + x cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x - x sen ⁡ x - sen ⁡ x - sen 2 ⁡ x x - cos ⁡ x 2

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