Calcule.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x

Passo 1

Podemos multiplicar o numerador e o denominador por 1 + cos ⁡ x , o que nos dá:

1 - cos ⁡ x x = 1 - cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Pela relação trigonométrica, sabemos que:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim:

cos 2 ⁡ x - 1 = sen 2 ⁡ x

Então, a nossa função pode ser reescrita como:

1 - cos 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x = sen 2 ⁡ x x 1 + cos ⁡ x

Passo 2

Multiplicando por x x temos o limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ x sen 2 ⁡ x x 2 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 × x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 × x 1 + cos ⁡ x

Se o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 × lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 × lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x

Resolvendo o limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 × lim x → 0 ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 2 × 0 1 + 1 = 0

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x = 0

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