Enunciado

Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x 0 dado.

f x = x 3 ,   x 0 = 8

Passo 1

Temos que a expressão geral do polinômio de Taylor é da forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Para o polinômio de Taylor de ordem 1 vamos ter:

P x = f 8 + f ' 8 x - 8

Passo 2

Vamos ter que calcular até a derivada primeira de f x e aplicar o ponto x 0 = 8 , vamos lá:

f x = x 3 → f 8 = 8 3 = 2

f ' x = f ' x 3 = 1 3 x 2 3 → f ' 8 = 1 3 ⋅ 8 2 3 = 1 3 ⋅ 4 = 1 12

Passo 3

Agora é só substituir e pronto:

P x = f 8 + f ' 8 x - 8 = 2 + 1 12 x - 8

Resposta

P x = 2 + 1 12 x - 8

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Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = l n ⁡ ( 1 + x ) , para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com quatro casas decimais de precisão.
23. Use o valor do Exercício 22 para encontrar um valor aproximado de ∫ 0 1 / 2 s e nx 2d x e estime o erro.
21. Use o polinômio de Maclaurin para a função definida por f x = ln ⁡ 1 + x 1 - x para calcular o valor de ln ⁡ 1,2 com precisao até a quarta casa decimal. Compare o resultado com o do exercício 20.
25. Mostre que a fórmula 1 + x - 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 x é precisa até a segunda casa decimal se - 0,1 ≤ x ≤ 0 .
28. (a) Use o polinômio de Maclaurin do primeiro grau para aproximar e k se 0k0,01 . (b) Estime o erro em termos de k.