Enunciado

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

c )   B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = 1 + 1 + 2 z

= 2 + 2 z

Agora vamos pensar na nossa região. Temos uma esfera em x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 , ou seja, toda a parte de dentro de uma esfera de raio 1. A gente vai parametrizar essa esfera usando coordenadas esféricas...

Passo 2

A parametrização é:

x = ρ s e n ϕ cos ⁡ θ y = ρ s e n ϕ s e n   θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Sendo que o jacobiano aqui é ρ 2 s e n   ϕ .

Como é uma esfera completa, nossos intervalos são:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Agora a gente monta nossa integral usando esse sisteminha:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 2 + 2 ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Vamos resolver agora:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 2 ρ 2 s e n   ϕ + 2 ρ 3 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ρ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 3 3 s e n   ϕ + 2 ρ 4 4 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ 0 1 d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 3 s e n   ϕ + 1 2 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ   d ϕ d θ

Agora a gente integra em ϕ ...

= ∫ 0 2 π - 2 3 cos ⁡ ϕ + 1 4 s e n 2 ϕ 0 π d θ

= ∫ 0 2 π 2 3 + 2 3   d θ

= 4 3 2 π

= 8 π 3

E prontinho! Está calculado😉

Resposta

8 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Lata cilíndrica - Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F = x y 2 i + x 2 y j + y k através da superfície da região delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos z =
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D54. Calota esférica F = x z i + y z j + k D. Toda a superfície da calota superior cortada a partir da esfera sólida x 2 +
Cilindro e planos - Encontre o fluxo exterior do campo F = 3 x z 2 i + y j - z 3 k através da superfície do sólido no primeiro octante que é delimitado pelo cilindro x2 + 4y = 16 e os planos y = 2 z ,
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D56. Cone e cilindro F = 6 x + y i - x + z j + 4 y z k D: A região no primeiro octante limitada pelo cone z = x 2 + y 2 , o
Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D55. Calota esférica F = - 2 x i - 3 y j + z k D: A região superior cortada da esfera sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 pelo parab