Enunciado

Calcule ∬ σ u → ⋅ n →   d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo:

  1. B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ x   e   0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .

Passo 1

Vamos aplicar o teorema de Gauss:

∬ σ u → ⋅ n →   d S = ∭ B d i v   u →   d x d y d z

Vamos calcular o divergente então:

d i v   u → = y + z + 2 z

Nossa integral então fica assim, aplicando os intervalos:

∫ 0 4 ∫ 0 1 ∫ 0 x y + 3 z   d y d x d z

Passo 2

Agora a gente integra:

∫ 0 4 ∫ 0 1 y 2 2 + 3 z y 0 x d x d z

= ∫ 0 4 ∫ 0 1 x 2 2 + 3 z x   d x d z

= ∫ 0 4 x 3 6 + 3 z x 2 2 0 1 d z

= ∫ 0 4 1 6 + 3 z 2 d z

= 1 6 z + 3 z 2 4 0 4

= 4 6 + 48 4 = 38 3

E prontinho! Calculamos😉

Resposta

38 3

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