Calcule

dx/dt = x + sen(t), t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d x d t = x g t + f t

Teremos esse resultado:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ 1 d t = e - t

Assim fazemos:

d x d t - x g t = f t

d x d t - x g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d x d t - x g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d x e - ∫ g t d t d t = d x d t - x g t e - ∫ g t d t

Assim:

d x e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d x e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

x e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

x e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para o e ∫ g t d t , teremos:

e ∫ 1 d t = e t

Então, para o nosso caso teremos:

x = k e - t + e - t ∫ sin ⁡ t e t d t

Passo 2

Vamos ficar com:

x = k e - t + e - t ∫ sin ⁡ t e t d t

Podemos resolver por partes:

∫ sin ⁡ t e t d t = - e t cos ⁡ t - ∫ e t cos ⁡ t d t

Podemos resolver novamente por partes:

∫ e t cos ⁡ t d t = e t sin ⁡ t - ∫ sin ⁡ t e t d t

Substituindo:

∫ sin ⁡ t e t d t = - e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t - ∫ sin ⁡ t e t d t

Temos dois dois lados o termo ∫ sin ⁡ t e t d t , assim:

∫ sin ⁡ t e t d t + ∫ sin ⁡ t e t d t = - e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

2 ∫ sin ⁡ t e t d t = - e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

∫ sin ⁡ t e t d t = 1 2 - e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t

Voltando pra função x :

x = k e - t + e - t 1 2 - e t cos ⁡ t - e t sin ⁡ t = k e - t - 1 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

Resposta

x = k e - t - 1 2 cos ⁡ t + sin ⁡ t

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