Calcule

dx/dt = x \* sen(t)

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d x d t = x g t + f t

Teremos esse resultado:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com x e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ sin ⁡ t d t = e cos ⁡ t

Assim fazemos:

d x d t - x g t = f t

d x d t - x g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d x d t - x g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d x e - ∫ g t d t d t = d x d t - x g t e - ∫ g t d t

Assim:

d x e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d x e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

x e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

x e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

x = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Para o nosso caso teremos:

x = k e - cos ⁡ t + e - cos ⁡ t ∫ 0 e cos ⁡ t d t =

Passo 2

Vamos ficar com:

x = k e - cos ⁡ t + e - cos ⁡ t ∫ 0 d t =

x = k e - cos ⁡ t

Resposta

x = k e - cos ⁡ t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados