Calcule a soma

  1. ∑ k = 1 n 4

  2. ∑ k = 1 n c

∑ k = 1 n ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por separar o nosso somatório em dois somatórios. Portanto, temos:

∑ k = 1 n ( k - 1 ) = ∑ k = 1 n k + ∑ k = 1 n - 1

Passo 3

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

∑ k = 1 n c = c ⋅ n

Portanto, para n = n e c = - 1 , temos:

∑ k = 1 n - 1 = - 1 ⋅ n = - n

Passo 4

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = n , temos:

∑ k = 1 54 k = n ( n + 1 ) 2 = n 2 + n 2

Passo 5

Fazendo a soma, obtemos:

∑ k = 1 n ( k - 1 ) = ∑ k = 1 n k + ∑ k = 1 n - 1

∑ k = 1 n ( k - 1 ) = n 2 + n 2 - n = n 2 - n 2

Resposta

∑ k = 1 n ( k - 1 ) = n 2 - n 2

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