Enunciado

Calcule as somas nos Exercícios 19-32.

21

sum_(k = 1)^7 ( - 2 k )

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa somatória.

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

sum_(k = 1)^7 ( - 2 k ) = (- 2 * 1) + (- 2 * 2) + (- 2 * 3) + ... + (- 2 * 7)

Perceba que todos os termos são multiplicados por - 2 , então a gente pode colocar o - 2 em evidência, porque todos os termos são números reais, essa propriedade chama-se distributiva. Então

sum_(k = 1)^7 (- 2 k) = - 2 ( 1 + 2 + 3 + ... + 7 )

Repare então que a gente pode colocar em evidência do outro lado também, quero dizer

sum_(k = 1)^7 (- 2 k) = - 2 sum_(k = 1)^7 k

Passo 3

Agora teremos o seguinte

- 2 sum_(k = 1)^7 k = - 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 )

Note que se somarmos o último termo com o primeiro termo o resultado é 8, se somarmos o segundo termo com o penúltimo termo também vai ser 8, assim como o antepenúltimo e o terceiro e assim por diante.

A gente pode reorganizar esses termos da seguinte forma

- 2 sum_(k = 1)^7 k = - 2 [ (7 + 1) + (6 + 2) + (5 + 3) + 4 ]

Isso é a mesma coisa que

- 2 sum_(k = 1)^7 k = - 2 [(a_0 + a_n) (n - 1)/(2) + ((a_0 + a_n))/(2)] = - 2 [(n (a_0 + a_n))/(2) - ((a_0 + a_n))/(2) + ((a_0 + a_n))/(2)] = - 2 [(n (a_0 + a_n))/(2)] = - 2 [(7 (1 + 7))/(2)] = - 56

Resposta

O resultado da somatória é - 56 .

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