Calcule as somas nos Exercícios 19-32.

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∑ k = 1 7 ( - 2 k )

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa somatória.

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

∑ k = 1 7 ( - 2 k ) =   - 2 ⋅ 1 + - 2 ⋅ 2 + - 2 ⋅ 3 + … + - 2 ⋅ 7

Perceba que todos os termos são multiplicados por - 2 , então a gente pode colocar o - 2 em evidência, porque todos os termos são números reais, essa propriedade chama-se distributiva. Então

∑ k = 1 7 - 2 k = - 2 ( 1 + 2 + 3 + … + 7 )

Repare então que a gente pode colocar em evidência do outro lado também, quero dizer

∑ k = 1 7 - 2 k =   - 2 ∑ k = 1 7 k

Passo 3

Agora teremos o seguinte

- 2 ∑ k = 1 7 k = - 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 )

Note que se somarmos o último termo com o primeiro termo o resultado é 8, se somarmos o segundo termo com o penúltimo termo também vai ser 8, assim como o antepenúltimo e o terceiro e assim por diante.

A gente pode reorganizar esses termos da seguinte forma

- 2 ∑ k = 1 7 k = - 2 [ 7 + 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 ]

Isso é a mesma coisa que

- 2 ∑ k = 1 7 k = - 2 a 0 + a n n - 1 2 + a 0 + a n 2 = - 2 n a 0 + a n 2 - a 0 + a n 2 + a 0 + a n 2 = - 2 n a 0 + a n 2 =   - 2 7 1 + 7 2 = - 56

Resposta

O resultado da somatória é - 56 .

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