Determine dy.

y = sec^(-1)(e^(-x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, sabemos que sec - 1 ⁡ x é a função inversa da função sec ⁡ x . A função arcsec ⁡ x .

Vamos reescrever a função então...

y = arcsec ⁡ ( e - x )

Ah, agora tá melhor né? Sem mais delongas, a derivada da função arco secante é dada por:

a r c s e c   ( x ) ' = 1 x   x 2 - 1  

No nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y ' = 1 e - x   ( e - x ) 2 - 1     × ( e - x ) '

Derivando a exponencial...

y ' = 1 e - x   ( e - x ) 2 - 1     × ( e - x ) × ( - 1 )

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y =   - ( e - x ) e - x   e - 2 x - 1  

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