Enunciado

Determine dy.

y = sec^(- 1) ( e^(- x) )

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, sabemos que sec^(- 1) x é a função inversa da função sec x . A função arcsec x .

Vamos reescrever a função então...

y = arcsec ( e^(- x) )

Ah, agora tá melhor né? Sem mais delongas, a derivada da função arco secante é dada por:

a r c s e c ( x ) ' = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

No nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = (1)/(|e^(- x)| sqrt(( e^(- x) )^2 - 1)) xx ( e^(- x) ) '

Derivando a exponencial...

y^' = (1)/(|e^(- x)| sqrt(( e^(- x) )^2 - 1)) xx ( e^(- x) ) xx ( - 1 )

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y = (- ( e^(- x) ))/(|e^(- x)| sqrt(e^(- 2 x) - 1))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aplique o método de Newton à equação x 2 - a = 0 para deduzir o seguinte algoritmo para a raiz quadrada (usado pelos antigos babilônios para calcular a ) x n + 1 = 1 2 x n + a x n Use a parte (a) para
Aplique o método de Newton à equação 1 x - a = 0 para deduzir o seguinte algoritmo para os inversos: x n + 1 = 2 x n - a x 2 n (Esse algoritmo possibilita a um computador achar os inversos sem realmen
12) Encontre a diferencial da função:(a) y = s 1 + 2 s (b) y = e - u cos ⁡ u
11) Encontre a diferencial da função:(a) y = x 2 s e n 2 x (b) y = ln ⁡ 1 + t 2
20) Calcule Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . A seguir, esboce um diagrama como o da Figura 5, mostrando os segmentos de reta com comprimentos d x , d y e Δ y . y = x , x = 1 , Δ x =