Calcule as somas nos Exercícios 19-32.

22.

∑ k = 1 5 π k 15

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa somatória.

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

∑ k = 1 5 ( π 15 k ) =   π 15 ⋅ 1 + π 15 ⋅ 2 + π 15 ⋅ 3 + π 15 ⋅ 4 + π 15 ⋅ 5

Perceba que todos os termos são multiplicados por π 15 , então a gente pode colocar o π 15 em evidência, porque todos os termos são números reais, essa propriedade chama-se distributiva. Então

∑ k = 1 5 π 15 k = π 15 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )

Repare então que a gente pode colocar em evidência do outro lado também, quero dizer

∑ k = 1 5 π 15 k =   π 15 ∑ k = 1 5 k

Passo 3

Agora teremos o seguinte

π 15 ∑ k = 1 5 k = π 15 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )

Note que se somarmos o último termo com o primeiro termo o resultado é 6, se somarmos o segundo termo com o penúltimo termo também vai ser 6, assim como o antepenúltimo e o terceiro e assim por diante.

A gente pode reorganizar esses termos da seguinte forma

π 15 ∑ k = 1 5 k = π 15 [ 5 + 1 + 4 + 2 + 3 ]

Isso é a mesma coisa que

π 15 ∑ k = 1 5 k = π 15 a 0 + a n n - 1 2 + a 0 + a n 2 = π 15 n a 0 + a n 2 - a 0 + a n 2 + a 0 + a n 2 = π 15 n a 0 + a n 2 =   π 15 5 1 + 5 2 = π 15 ⋅ 15 = π

Resposta

O resultado da somatória é π .

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