Calcule a soma

  1. ∑ k = 1 n 1 n + 2 n

  2. ∑ k = 1 n c n

∑ k = 1 n k n 2

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Utilizando a regra da multiplicação por uma constante, podemos colocar a constante para fora do somatório. Assim temos:

∑ k = 1 n k n 2 = 1 n 2 ⋅ ∑ k = 1 n k

Passo 3

Precisamos calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Portanto, para n = n , temos:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Passo 4

Multiplicando os resultados anteriores, obtemos:

∑ k = 1 n k n 2 = 1 n 2 ⋅ n ( n + 1 ) 2

∑ k = 1 n k n 2 = n + 1 2 n

Resposta

∑ k = 1 n k n 2 = n + 1 2 n

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