Enunciado

Calcule a soma

  1. sum_(k = 9)^(36) k

  2. sum_(k = 3)^(17) k^2

sum_(k = 18)^(71) k ( k - 1 )

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Inicialmente precisamos mudar os valores do limite do somatório, pois começamos a contar a partir de k = 18 , e para aplicarmos as nossas regras, o valor de k deve ser igual a 1. Portanto, façamos um número i = k - 17 . Quando k = 18 , i = 1 . Já quando k = 71 , i = 54 . Portanto, escrevemos:

sum_(k = 18)^(7 1) k ( k - 1 ) = sum_(i = 1)^(54) ( i + 17 ) ( i + 16 ) = sum_(i = 1)^(54) i^2 + 33 i + 272

sum_(i = 1)^(54) i^2 + 33 i + 272 = sum_(i = 1)^(54) i^2 + sum_(i = 1)^(54) 33 i + sum_(i = 1)^(54) 272

Passo 3

Agora, utilizando a regra de multiplicação por uma constante para reduzir ao máximo os nossos somatórios, obtemos:

sum_(i = 1)^(54) ( i + 17 ) ( i + 16 ) = sum_(i = 1)^(54) i^2 + 33 * sum_(i = 1)^(54) i + sum_(i = 1)^(54) 272

Passo 4

Vamos calcular inicialmente a soma de uma constante. Sendo assim, temos a seguinte regra do valor constante:

sum_(k = 1)^n c = c * n

Portanto, para n = 54 e c = 272 , temos:

sum_(i = 1)^(54) 272 = 272 * 5 4 = 14688

Passo 5

Nos falta calcular a soma dos n primeiros números inteiros. Utilizamos então a seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = 5 4 , temos:

sum_(i = 1)^(5 4) i = (54 ( 54 + 1 ))/(2) = 1485

Passo 6

Já a soma dos primeiros n quadrados é dada pela seguinte relação:

sum_(k = 1)^n k^2 = (n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ))/(6)

Portanto, temos:

sum_(i = 1)^(5 4) i^2 = (5 4 ( 5 4 + 1 ) ( 108 + 1 ))/(6) = 53955

Passo 7

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 4, 5 e 6na relação descrita no Passo 3. Sendo assim, o somatório é igual a:

sum_(i = 1)^(54) ( i + 17 ) ( i + 16 ) = sum_(i = 1)^(54) i^2 + 33 * sum_(i = 1)^(54) i + sum_(i = 1)^(54) 272

sum_(i = 1)^(54) ( i + 17 ) ( i + 16 ) = 53955 + 33 * 1485 + 14688 = 1 17 64 8

Resposta

sum_(k = 18)^(71) k ( k - 1 ) = 117648

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