Enunciado

Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F x , y = ( x 2 - y 2 , 2 x y ) ao mover uma partícula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas x = a e y = a ( a > 0 ) no sentido anti-horário.

Passo 1

Falaaaa, vamo lá resolver esse problema ai?!

Beleza, temos o nosso campo F x , y = ( x 2 - y 2 , 2 x y ) . A nossa partícula se moveu ao longo da fronteira de um quadrado, da só uma olhada:

Vamos fazer algo semelhante ao que mostra no exemplo 6.5, vamos “quebrar” esse quadrado em 4 curvas, olha só:

Daí, teremos que o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula será dado por:

W = ∮ C F ⋅ d r = ∫ c 1 F ⋅ d r + ∫ c 2 F ⋅ d r + ∫ c 3 F ⋅ d r + ∫ c 4 F ⋅ d r

Passo 2

Beleza, já sabemos o caminho a se seguir. Vamos agora parametrizar essas curvas, para podermos fazer a integral de linha. Assim, teremos:

  c 1 : σ 1 = t , 0       0 ≤ t ≤ a ;     σ 1 ' = 1,0

  c 2 : σ 2 = a , t       0 ≤ t ≤ a ;     σ 2 ' = 0 , 1

                        c 3 : σ 3 = a - t , a       0 ≤ t ≤ a ;     σ 1 ' = - 1 , 0

                          c 1 : σ 1 = 0 , a - t       0 ≤ t ≤ a ;     σ 1 ' = 0 , - 1

Cara, a nossa primeira curva tem variação apenas em x , no eixo y ela tem componente igual a zero. Na segunda curva, temos que ela está fixa em x = a , mas varia em y . Na terceira curva, temos a variação em x em direção a x = 0 , mas fixa em y = a . Já a nossa quarta curva, temos x = 0 fixo e a variação em y em direção a y = 0 .

Temos as parametrizações e as derivadas delas, mas para que isso?! Lembra da nossa denotação da integral de linha:

W = ∫ C F ⋅ d r = ∫ a b ( F σ t ⋅ σ ' t d t

Passo 3

Agora, vamos lá substituir cada curva em sua respectiva integral:

W = ∮ C F ⋅ d r = ∫ 0 a t 2 - 0 2 , 2 ⋅ t ⋅ 0 ⋅ 1,0 d t + ∫ 0 a a 2 - t 2 , 2 ⋅ a ⋅ t ⋅ 0 , 1 d t + ∫ 0 a ( a - t ) 2 - a 2 , 2 ⋅ ( a - t ) ⋅ a ⋅ - 1 , 0 d t + ∫ 0 a 0 2 - a - t 2 , 2 ⋅ 0 ⋅ ( a - t ) ⋅ 0 , - 1 d t

W = ∮ C F ⋅ d r = ∫ 0 a t 2 d t + ∫ 0 a 2 a t   d t + ∫ 0 a 2 a t - t 2   d t + ∫ 0 a 0   d t = t 3 3 + a t 2 + a t 2 - t 3 3 0 a = 2 a t 2 0 a = 2 a 3

Resposta

2 a 3

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