Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x 2 y   d s

C : x = cos ⁡ t ,   y = s e n   t ,   z = t ,     0 ≤ t ≤ π / 2

Passo 2

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 9 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = - s e n   t

d y d t = cos ⁡ t

d z d t = 1

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 9, temos:

∫ x 2 y   d s = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ t 2 s e n   t - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2 d t

∫ 0 π / 2 cos ⁡ t 2 s e n   t s e n 2 t + c o s 2 t + 1   d t

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , podemos então simplificar a expressão anterior:

2 ∫ 0 π / 2 c o s 2 t   s e n   t   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

2 - 1 3 cos 3 ⁡ t 0 π / 2 = 2 - 1 3 0 3 - - 1 3 1 3 = 2 0 + 1 3

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x 2 y   d s = 2 3

Resposta

∫ x 2 y   d s = 2 3

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