Encontre a integral de linha de f(x, y, z) = raiz(3) / (x^2 + y^2 + z^2) sobre a curva r(t) = ti + tj + tk, 1 <= t <= infinito .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver esta questão você deve recordar o que podemos encontrar na teoria da página 363. Veja a seguir.

Passo 2

Para calcularmos a integral de f ( x , y , z ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 sobre uma curva C , dada por r → ( t ) = t i + t j + t k , com 1 ≤ t ≤ ∞ devemos lembrar que, a integral de linha de f ( x , y , z ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 é calculada por ∫ C   f ( x , y , z ) d r → d t d t , onde f ( x , y , z ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 é uma função contínua em C e d r → d t a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 3

Precisamos agora encontrar o valor de f ( x , y , z ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 e de d r → d t A função será: f ( x , y , z ) = 3 / x 2 + y 2 + z 2 = 3 / t 2 + t 2 + t 2 = 3 / 3 t 2 e d r → d t = i → + j → + k → Sendo que seu módulo será dado por:

d r → d t = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ 0 1   f ( x , y , z ) d r ‾ d t d t .Fazendo as substituições de f ( x , y , z ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então que:

∫ 1 ∞   3 3 t 2 ( 3 ) d t = ∫ 1 ∞   1 t 2 d t = - 1 t 1 ∞

A integral obtida é resolvida aplicando-se o limite e com isso chegamos ao resultado final:

- 1 t 1 ∞ = l i m x → ∞   - 1 x + 1 = 1

Resposta

Resposta nos passos.

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