Enunciado

Determine o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com valor de parâmetro dado t .

r → t = tan - 1 ⁡ t , 2 e 2 t , 8 t e t ,   t = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O nosso objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto com o valor fornecido do parâmetro t .

A definição do vetor tangente unitário é:

T t = r ' t r ' t

Passo 2

Vamos derivar r ( t ) com relação a t :

d d t r t = 1 1 + t 2 , 2 e 2 t 2 , 8 t e t + e t

d d t r t = 1 1 + t 2 , 4 e 2 t , 8 e t t + 1

Agora vamos aplicar t = 0 :

r 0 = tan - 1 ⁡ 0 , 2 e 2 0 , 8 0 e 0

r 0 = 0 , 2 , 0

d d t r 0 = 1 1 + 0 2 , 4 e 2 0 , 8 e 0 0 + 1

r ' 0 = 1 ,   4 ,   8

Passo 3

O vetor tangente unitário no ponto 0,2 , 0 é:

T 0 = r ' 0 r ' 0

T 0 = 1 ,   4 ,   8 1 2 + 4 2 + 8 2

T 0 = 1 ,   4 ,   8 81

T 0 = 1 9 , 4 9 , 8 9

Resposta

T 0 = 1 9 , 4 9 , 8 9

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