Enunciado

Encontre a massa e centro de massa de um hemisfério sólido com raio a e densidade proporcional a distância de sua base.

Passo 1

Como temos um hemisfério solido com densidade proporcional à distância da sua base, vamos posicionar esse centro na origem, para que a função densidade seja:

ρ = K z

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ ,   x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Substituindo essas relações na equação da densidade, obtemos:

ρ x , y , z = K ρ cos ⁡ ϕ

Dessa forma, a massa será dada pela integral:

m = ∫ ∫ ∫ ρ d V

Como K é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficanco com:

m = K ∫ ∫ ∫ ρ d V

Passo 2

Como temos um hemisfério com raio a , então as restrições sobre a posição dele são 0 ≤ ρ ≤ a , 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . Com isso, podemos reescrever a integral para a massa já com os limites de integração:

m = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ( ρ cos ⁡ ϕ ) ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ 3 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Iremos separar as integrais de acordo com as suas variáveis:

m = K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos ⁡ ϕ   d ϕ ∫ 0 a ρ 3 d ρ

E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

m = K θ 0 2 π - 1 2 cos ⁡ 2 ϕ 0 π / 2 1 4 ρ 4 0 a

m = K 2 π - 0 - 0 - - 1 2 1 1 4 a 4 - 1 4 0 4

E, simplificando a expressão para a massa, obtemos:

m = 1 4 K π a 4

Passo 3

Antes de começar a resolver o problema, devemos notar a simetria do sólido com relação aos eixos x e y , dessa forma, temos:

M y z = M x z = 0

Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo z do sólido, para isso, fazemos:

M x y = ∫ ∫ ∫ E   z ρ d V

Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas no passo 1, podemos reescrever a integral como:

M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 a ρ cos ⁡ ϕ ( ρ cos ⁡ ϕ ) ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

= K ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 a ρ 4 cos 2 ⁡ ϕ s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:

K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 a ρ 4 d ρ

Sabemos que as integrais com formato:

∫ cos x ⁡ θ s e n ⁡ θ

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

Nesse caso, temos x = 2 , então, resolvendo a integral, temos:

∫ 0 π / 2 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2

E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:

m = K θ 0 2 π - 1 3 cos 3 ⁡ ϕ 0 π / 2 1 5 ρ 5 0 a

M x y = K 2 π - 0 - 1 3 0 3 - - 1 3 1 3 1 5 a 5 - 1 5 0 5

E, simplificando a expressão para M x y , temos:

M x y = 2 15 K π a 5

Dessa forma, o centróide é dado por:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m = 0 1 4 K π a 4 , 0 1 4 K π a 4 , 2 15 K π a 5 1 4 K π a 4  

x - , y - , z - = 0,0 , 8 a 15

Resposta

m = 1 4 K π a 4

x - , y - , z - = 0,0 , 8 a 15

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Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas. 2 ≤ ρ ≤ 4 ,0 ≤ ϕ ≤ π 3 ,0 ≤ θ ≤ π
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 ,π / 2 ,π / 2 ) ( 4 , -π / 4 ,π / 3 )