Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 34
Encontre a massa e centro de massa de um hemisfério sólido com raio e densidade proporcional a distância de sua base.
Passo 1
Como temos um hemisfério solido com densidade proporcional à distância da sua base, vamos posicionar esse centro na origem, para que a função densidade seja:
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Substituindo essas relações na equação da densidade, obtemos:
Dessa forma, a massa será dada pela integral:
Como é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficanco com:
Passo 2
Como temos um hemisfério com raio , então as restrições sobre a posição dele são , e . Com isso, podemos reescrever a integral para a massa já com os limites de integração:
Iremos separar as integrais de acordo com as suas variáveis:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:
E, simplificando a expressão para a massa, obtemos:
Passo 3
Antes de começar a resolver o problema, devemos notar a simetria do sólido com relação aos eixos e , dessa forma, temos:
Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo do sólido, para isso, fazemos:
Através dos limites de integração e das relações de transformação para coordenadas esféricas apresentadas no passo 1, podemos reescrever a integral como:
Separando as integrais de acordo com suas variáveis, temos:
Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral, temos:
E podemos resolver essa integral simultaneamente para as 3 variáveis, com isso, temos:
E, simplificando a expressão para , temos:
Dessa forma, o centróide é dado por:
Resposta
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