Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x 2 d x + y 2 d y

Em que C consiste no arco de círculo x 2 + y 2 = 4 de ( 2,0 ) até ( 0,2 ) seguido pelo segmento de linha de ( 0,2 ) até ( 4,3 ) .

Passo 2

Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, C 1 e C 2 , pois temos dois segmentos não contínuos, sendo assim, escolhendo t como parâmetro, as equações para C 1 e C 2 são:

C 1 → x = 2 cos ⁡ t ,   y = 2 s e n   t ,     0 ≤ t ≤ π 2

C 2 → x = 4 t ,   y = 2 + t ,     0 ≤ t ≤ 1

As derivadas de x e y com relação a t para cada curva são:

C 1 → d x = - 2 s e n t   d t ,     d y = 2 cos ⁡ t d t

C 2 → d x = 4 d t ,     d y = d t

Sabemos que essa integral de linha pode ser calculada através da equação 7 apresentada nessa seção do livro, sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ x 2 d x + y 2 d y = ∫ 0 π / 2 2 cos ⁡ t 2 ( - 2 s e n   t   d t ) + 2 s e n   t 2 2 cos ⁡ t d t + ∫ 0 1 4 t 2 4 d t + 2 + t 2 d t

Reescrevendo a integral, agrupando os termos em comum, temos:

8 ∫ 0 π / 2 - cos 2 ⁡ t s e n   t + s e n 2 t cos ⁡ t   d t + ∫ 0 1 65 t 2 + 4 t + 4   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

8 1 3 cos 3 ⁡ t + 1 3 s e n 3 t 0 π / 2 + 65 3 t 3 + 2 t 2 + 4 t 0 1

8 1 3 0 3 + 1 3 1 3 - 1 3 1 3 + 1 3 0 3 + 65 3 1 3 + 2 1 2 + 4 1 - 0

= 8 1 3 - 1 3 + 65 3 + 2 + 4

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x 2 d x + y 2 d y = 83 3

Resposta

∫ x 2 d x + y 2 d y = 83 3

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