Enunciado

Experiências mostram que uma corrente contínua I em um fio comprido produz um campo magnético B → que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio (como na figura.). A Lei de Ampére relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que

∫ C B → ⋅ d r → = μ 0 I

Onde I é a corrente total que passa por qualquer superfície limitada por uma curva fechada C e μ 0 é uma constante chamada permeabilidade no vácuo. Tomando C como um círculo de raio r , mostre que o módulo de B = | B → | do campo magnético a uma distância r do centro do fio é dado por

B = μ 0 I 2 π r

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar o que se pede vamos primeiro parametrizar a curva C , que é uma circunferência de raio r :

x = r c o s t ,     y = r s e n t

E o vetor posição r → ( t ) fica:

r → = r c o s t i → + r s e n t j →

Onde o parâmetro t   está entre:

0 ≤ t ≤ 2 π

E o vetor d r → ? Bom, ele é a derivada de r → :

d r → = - r s e n t . d t   i → + r c o s t . d t   j →

Beleza!

Passo 2

Vamos ver agora o campo magnético! Pelo desenho vamos que as linhas de campo giram em sentido anti-horário então podemos supor que suas componentes são, por exemplo:

B → = - | B | s e n t i → + | B | c o s t j →

Passo 3

Legal! O próximo passo é fazer o produto escalar entre B → e d r → (pois é o integrando da lei de Ampére!):

B → ⋅ d r → = - | B | s e n t , | B | c o s t ⋅ - r   s e n t   d t ,   r   c o s t   d t = B r s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t = | B | r d t

Passo 4

Certo! Agora já podemos colocar na integral e calcular!

∫ C B → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π | B | r d t = B r . 2 π

E a lei de Ampére nos diz que:

∫ C B → ⋅ d r → = μ 0 I

Então do lado direito vamos substituir por B r . 2 π :

B r . 2 π = μ 0 I

E isolar B = | B | :

B = B = μ 0 I 2 π r

Pronto! Era o que queríamos mostrar!

Vamos pra próxima?

Resposta

B = μ 0 I 2 π r

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