Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ y 2 z   d s

C é o segmento de linha de ( 3,1 , 2 ) até ( 1,2 , 5 ) .

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 9 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = - s e n   t

d y d t = cos ⁡ t

d z d t = 1

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 9, temos:

∫ x 2 y   d s = ∫ 0 π / 2 cos ⁡ t 2 s e n   t - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 + 1 2 d t

Passo 2

Nesse exercício, devemos parametrizar a curva em função de t , com:

x = 3 - 2 t ,   y = 1 + t ,   z = 2 + 3 t     0 ≤ t ≤ 1

Nesse exercício podemos aplicar diretamente a fórmula 9 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

d x d t = - 2

d y d t = 1

d z d t = 3

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 9, temos:

∫ y 2 z   d s = ∫ 0 1 1 + t 2 2 + 3 t - 2 2 + 1 2 + 3 2   d t

Abrindo o produto notável e agrupando os termos em comum, temos:

14 ∫ 0 1 ( 3 t 3 + 8 t 2 + 7 t + 2 )   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

14 3 4 t 4 + 8 3 t 3 + 7 2 t 2 + 2 t 0 1

14 3 4 1 4 + 8 3 1 3 + 7 2 1 2 + 2 ( 1 ) - 0

= 14 3 4 + 8 3 + 7 2 + 2

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ y 2 z   d s = 14 107 12

Resposta

∫ y 2 z   d s = 14 107 12

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