Enunciado

Mostre que a integral de linha é independente e calcule a integral.

∫ C ( 2 y 2 - 12 x ³ y ³ )   d x + ( 4 x y - 9 x 4 y 2 ) d y

C é qualquer caminho de ( 1,1 ) a ( 3,2 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ 2 y 2 - 12 x ³ y ³ ∂ y = 4 y - 36 x 3 y 2

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ 4 x y - 9 x 4 y 2 ∂ x = 4 y - 36 x 3 y 2

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( 2 y 2 - 12 x ³ y ³ ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = 2 y 2 x - 12 x 4 y 3 4 + g y = 2 y 2 x - 3 x 4 y 3 + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = 4 x y - 9 x 4 y 2 + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = 4 x y - 9 x 4 y 2

E agora vamos igualar os dois lados!

4 x y - 9 x 4 y 2 = 4 x y - 9 x 4 y 2 + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = 2 y 2 x - 3 x 4 y 3 + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é ( 1,1 ) e a função nesse ponto é:

f 1,1 = 2 - 3 + C = - 1 + C

Agora temos que o ponto inicial é ( 3,2 ) e a função nesse ponto é:

f 3,2 = 2 . 2 2 3 - 3.3 4 2 3 + C = 24 - 1944 + C = - 1 920 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = - 1 920 + C - - 1 + C = - 1 91 9

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é - 1919 .

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = - 1919

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