Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

4 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≤ 4 e 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1

Passo 1

O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos fácilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos ?

Se lembramos bem de Geometria Analitica, sabemos que a primeira superfície é um elipsóide (Azul) e outro um cilindro eliptico (Roxo)

Passo 2

Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por

V = ∭ B d x   d y   d z

Até aqui, só a definição. B seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.

Entretanto perceba que z já está “definido”, mas vamos melhorar um pouco

4 x 2 + 9 y 2 + z 2 = 4

Isolando z

z = ± 4 - 4 x 2 - 9 y 2

Feio, mas seguindo, dizemo que o volume pode ser escrito como

V = ∬ S d x   d y ∫ - 4 - 4 x 2 - 9 y 2 4 - 4 x 2 - 9 y 2 d z

Sabemos que a integral de d z é z então

V = ∬ S 4 - 4 x 2 - 9 y 2 - - 4 - 4 x 2 - 9 y 2 d x   d y = ∬ S 2 4 - 4 x 2 - 9 y 2 d x   d y  

Onde S é a projeção do nosso volume no plano x y . Importante nos sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.

Perceba que nossa projeção é dada pelo nosso cilindro, o pois é ele que determina nossa superfície. Assim

S = { x , y ∈ R 2 | 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1 }

Passo 3

Agora vamos fazer umas pequenas alterações em nosso sistema de coordenada para facilitar nossa resolução. Assim tome 2 x = r cos ⁡ θ e 3 y =   r   s e n   θ , implicando que

4 x 2 + 9 y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = r 2 ≤ 1

Assim temos que

r ∈ 0,1 e θ ∈ [ 0,2 π ]

Lembrando que depois de toda parametrização, precisamos calcular nosso Jacobiano. Como todo estudante cansado de Calculo hahaha lembramos que o jacobiano em coordenada polares, quando temos x = a r cos ⁡ θ e y = b r   s e n θ é a b r . Desta forma

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 4 - r 2 r 6 d r d θ = π 3 ∫ 0 1 2 r 4 - r 2 d r

Que não é uma integral estranha de resolver. Faça uma substituição 4 - r 2 = u → 2 r   d r =   - d u , na qual r = 0 → u = 4 e r = 1 → u = 3 . Assim temos

V = - π 3 ∫ 4 3 u d u = - π 3 2 3 u 3 2 4 3 = - 2 π 9 3 3 - 4 4

E assim finalmente temos que

V = 2 π 9 8 - 3 3

No Livro não temos esse fator 2 , entretanto em em nenhum momento tivemos alguma coisa dizendo que estamos limitados no plano x y . Então consideramos todo o volume.

Resposta

V = 2 π 9 8 - 3 3

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)c) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)a) 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 5 - x 2 - 3 ⋅ y 2