Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação x 2 + 4 y 2 ≤ 4 . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

- 2 ≤ x ≤ 2

E

- 1 - x 2 4 ≤ y ≤ 1 - x 2 4

Ou:

- 1 ≤ y ≤ 1

E

- 2 1 - y 2 ≤ x ≤ 2 1 - y 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 - x 2 4 1 - x 2 4   x + y + 1 - x + y d y d x

Como o integrando é uma função par, então:

V = 2 ∫ - 2 2 ∫ 0 1 - x 2 4 1 d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

V = 2 ∫ - 2 2 y | y = 1 - x 2 4 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

V = 2 ∫ - 2 2 1 - x 2 4 - 0 d x

V = 2 ∫ - 2 2 1 - x 2 4 d x

V = 2 ∫ - 2 2 1 - x 2 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x , podemos resolver através do método da substituição simples, com x / 2 = s e n u e d x = 2 c o s u d u .

Também, fazendo as substituições tem-se que:

Quando x = 2 → u = π / 2

Quando x = - 2 → u = 3 π / 2 = - π / 2

Então:

V = 2 ∫ - π / 2 π / 2 1 - s e n 2 u 2 c o s u d u

V = 4 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 2 u d u

Lembrando que:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

A integral pode ser reescrita como:

V = 4 ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u

V = 2 ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u d u

Então:

V = 2 u + s e n 2 u 2 | u = π / 2 y = - π / 2

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração, o termo que possui a função seno irá ser nulo pelo fato de que s e n n π = 0 . Portanto:

V = 2 π 2 - - π 2

V = 2 π

Resposta

2 π

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