Enunciado

Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 , y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume do sólido que tem como base o semicírculo x 2 + y 2 ≤ r 2 , para y ≥ 0 , e cujas seções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros.

Em questão como essas devemos colocar a área do triângulo equilátero em função de x , já que esses triângulos são as seções perpendiculares ao eixo x .

Lembrando da área de um triângulo equilátero de lado y , temos:

A = 3 4 y 2

O lado do triângulo em relação ao da abscissa dessa circunferência é dado por:

y 2 = r 2 - x 2

Com isso, colocando as informações na expressão da área, vamos ter:

A ( x ) = 3 4 r 2 - x 2

E como a integral da área é igual ao volume, o que nós vamos fazer é integrar essa expressão para obter o volume do sólido desejado.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso intervalo de integração percorre a base do semicírculo de - r a r . Assim, usando A ( x ) = 3 4 r 2 - x 2 , temos a integral de volume:

V   = ∫ - r r 3 4 r 2 - x 2 d x

Colocando a constante do lado de fora da integral e separando a subtração:

= 3 4 ∫ - r r r 2 d x - ∫ - r r x 2 d x

Agora integrando em relação a x , temos:

= 3 4 r 2 ∙ x - r r - x 3 3 - r r

Aplicando os limites de integração em x :

= 3 4 2 r 3 - 2 r 3 3

= 3 4 4 r 3 3

E encontramos nosso volume:

= 3 r 3 3

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

V = 3 r 3 3

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