Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x - 1 ,   x = 2 ,   x = 5 ,   y = 0 ,   a o   r e d o r   d o   e i x o   x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

A região é mostrada na primeira imagem. Se girarmos em torno do eixo x , obtemos o sólido mostrado na segunda imagem.

O intervalo de interseção é de x = 2,5 , que são as retas mostradas na figura. A área é da secção da rotação A = π y 2 = π x - 1 2 = π ( x - 1 ) .

Onde y é o ‘raio’ da circunferência da secção do solido gerado. Veja que na figura dois podemos ver que ao girarmos o solido, e vermos de frente veremos uma circunferência, e é a área dessa circunferência que precisamos.

Passo 2

Podemos calcular o volume!!

V = ∫ 2 5 A ( x ) d x

V = ∫ 2 5 π ( x - 1 ) d x

Agora é só calcularmos a integral:

V = π ∫ 2 5 ( x - 1 ) d x

Sendo uma integral polinomial:

V = π x 2 2 - x 2 5

Aplicando os limites de integração:

= π [ 5 2 2 - 5 - 2 2 2 - 2 ]

= π 15 2 - 0

V = 15 π 2

Resposta

V = 15 π 2

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