Enunciado

Calcule o volume do sólido W   descrito abaixo.

(c) W é limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , está situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 ,   e z ≥ 0 .

Passo 1

Faalaa aí Clóvis... Mais uma questãozinha nada trivial de integral tripla.

Como de praxe, vamos começar desenhando o diaxo do sólido para tentarmos enxergar o que tacoteseno.

Se você não ta conseguindo desenhar, lembra que a equação de um parabolóide que começa na origem é z = x 2 + y 2 ?? Então se esse x e y forem negativos, o parabolóide será voltado para baixo a partir da origem.

Portanto, z = 4 - x 2 - y 2 nada mais é do que um parabolóide voltado para baixo que não começa na origem, mas sim em z = 4 .

E com a passagem de um plano, vamos ficar com o seguinte:

A linha tracejada em azul, representa a intersecção do plano ( z = y ) com o parabolóide.

Mas, vamos ter que tomar muito cuidado com a interpretação. Digo isso porque num primeiro momento, pensei que o enunciado queria o volume daquilo que esta abaixo do plano z = y .

Mas na verdade ele quer o que está acima; percebe que no final das contas queremos encontrar o volume do seguinte:

Queremos o que está em branco, limitado em cima pelo parabolóide, pelo plano em azul, pelo cilindro e ainda pelo plano x y   ( z > 0 ) .

Pegou a idéia?

Para proceder, podemos calcular o volume total e tirar daquele pedacinho que está abaixo do plano z = y .

Para encontrar o volume total daquilo ali, é só calcular o volume do cilindro até a intersecção com a pontinha do parabolóide.

Ou seja,

V C i l i n d r o + V p o n t i n h a

Vamos ter que utilizar coordenadas cilíndricas; ah vá?! Cilindro, coordenadas cilíndricas... acho que tem alguma relação aí. Hahahaha

Relembrando:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ   J a c o b i a n o = r   x 2 + y 2 = r

Então para o cilindro, a projeção dele no plano x y forma uma circunferência. Com raio 1 e que pega todos os 4 quadrantes. Ou seja:

0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1

Mas falta os limites de z ; perceba que, partindo da origem, subimos até a intersecção do cilindro com o parabolóide:

z = 4 - x 2 - y 2 = 4 - ( x 2 + y 2 )

Mas x 2 + y 2 = 1 , que é o cilindro.

z = 4 - 1 = 3

Ou seja,

0 ≤ z ≤ 3

Passo 2

Então o volume do cilindro:

V C = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 3 r   d z   d r   d θ

Lembrando sempre do jacobiano ali, pelo amor de tudo que é mais sagrado nesse mundo todinho...

Chegamos em:

V c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 3 r   d r   d θ = ∫ 0 2 π 3 r 2 2 d θ 1 0

E

V c = ∫ 0 2 π 3 2   d θ = 3 2 2 π - 0 = 3 π

Beleza, agora a pontinha do parabolóide.

A projeção, da intersecção do parabolóide com o cilindro, no plano também é uma circunferência de raio 1. E também pega os 4 quadrantes do plano x y . Portanto:

0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1

Só que agora,subindo no eixo z , começamos em z = 3 (intersecção) e continuamos subindo até encontrar com o parabolóide. Então:

3 ≤ z ≤ 4 - r 2

Lembrando que x 2 + y 2 = r 2 . Certo??

Portanto o volume daquela pontinha la em cima:

V p = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 3 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

Integrando:

V p = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 1 - r 2 d r   d θ

Cuidado pra não errar:

V p = ∫ 0 2 π r 2 2 - r 4 4 d θ   r = 1 r = 0

V p = ∫ 0 2 π 1 4 d θ = 1 4 2 π - 0 = π 2

Top demais, então temos que o volume total daquele rolê é:

V t = π 2 + 3 π = 7 π 2

Passo 3

Agora vamos falar daquela partinha que é excluída porque passamos um plano ( z = y ) pelo sólido.

A projeção dela no plano x y é uma meia circunferência de raio 1. Consegue perceber isso?

Note que podemos excluir o parabolóide, e contar só a intersecção do plano com o cilindro:

Mas diferente das projeções anteriores, temos somente uma meia circunferência que pega só os dois primeiros quadrantes:

0 ≤ θ ≤ π

E como ela possui raio 1:

0 ≤ r ≤ 1

Partindo do plano x y , perceba que podemos subir na direção de z até encontrar com o plano z = y ; portanto:

0 ≤ z ≤ y

Mas, como estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas:

0 ≤ z ≤ r sin ⁡ θ

Show dibola. Já temos todos os limites de integração.

O volume dessa brincadeira aí, será:

V p a r t e   e x c l u í d a = ∫ 0 π ∫ 0 1 ∫ 0 r sin ⁡ θ r   d z   d r   d θ

Integrando:

V p e = ∫ 0 π ∫ 0 1 r r sin ⁡ θ   d r   d θ

Um pouquinho de cuidado agora:

V p e = ∫ 0 π r 3 3 sin ⁡ θ d θ r = 1 r = 0 = ∫ 0 π sin ⁡ θ 3 d θ

E finalmente:

V p e = 1 3 - cos ⁡ θ θ = π θ = 0

Portanto:

V p e = - 1 3 - 1 - 1 = 2 3

Então, o volume do nosso sólido será:

V = T o d o   o   s ó l i d o - p a r t e   e x c l u í d a = 7 π 2 - 2 3

Chegamos em:

V = 21 π - 4 6

Ufa!

Resposta

Concluimos que o volume do sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano contidos no cilindro, é   21 π - 4 6 .

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