Enunciado

Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:

(e) W = {(x , y , z) in R^3,z >= 1 ; x + y + z <= 7 ; x >= y^2} .

Passo 1

Eaaaeeee, vamo chamar essa questão na xincha! Vem comigo...

O enunciado nos da algumas regiões ali, vamos tentar esboçar elas:

Achamos algo mais ou menos assim; onde aquela partinha em amarelo ali é o nosso sólido. Perceba que ele está limitado pela superfície x = y^2 (amarelo), e pelos planos z = 1 e x + y + z = 7 .

Bom, vamos ver como a projeção desse cara se comporta no plano x y ? É como se você tivesse vendo a figura de cima:

Teremos isso, onde a parte hachurada é quem nos interessa.

“huumm não sei não cara, não consigo enxergar isso...?!” Beleza, vou tentar te convencer utilizando a Tia Mat.

Essas projeções nada mais são do que as intersecções entre os bangs. Olha só:

x + y + z = 7

Interceptando o plano z = 1 , teremos:

x + y = 6

Que é? Uma reta decrecente, isso mesmo:

y = 6 - x

Ela ta ali na imagem certo?

E agora a parábola?? É a

x = y^2

Sem segredos.

Passo 2

Tá, então vamos tentar determinar os limites da integração:

Perceba que o z sai do plano z = 1 até encontrar o plano x + y + z = 7 , então teremos:

1 <= z <= 7 - x - y

E o y , repare que ele pode ser encontrado utilizando as intersecções:

y = 6 - x

Mas x = y^2 , então:

y^2 + y - 6 = 0

Portanto, os limites de y serão:

y = (- 1 +- sqrt(25))/(2) = {[[y_1,=,-,3],[y_2,=,2]])

Ou seja:

- 3 <= y <= 2

E por último o x ; note que partindo da origem e saindo no sentido positivo do eixo x , primeiro encontramos a parábola, e continuando no eixo depois encontramos a reta; ou seja:

y^2 <= x <= 6 - y

Sacou a parada?

Passo 3

Então no final das contas o volume desse trem vai ser definido assim:

int_(- 3)^2 int_(y^2)^(6 - y) int_1^(7 - x - y) d x d y d z

Certo?? Nããããooo.... Muito cuidado, mas muito cuidado mesmo com a ordenação dos diferenciais. Sempre de dentro pra fora, olha só:

V = int_(- 3)^2 int_(y^2)^(6 - y) int_1^(7 - x - y) d z d x d y

Agooraa siiimm... Let’s bora:

V = int_(- 3)^2 int_(y^2)^(6 - y) [(7 - x - y) - (1)] d x d y

V = int_(- 3)^2 int_(y^2)^(6 - x) [6 d x - x d x - y d x] d y

A próxima:

V = int_(- 3)^2 [6 x - (x^2)/(2) - y x] d y (x = 6 - y)/(x = y^2)

V = int_(- 3)^2 [6 (6 - y - y^2) - ((6 - y)^2 - (y^2)^2)/(2) - y (6 - y - y^2)] d y

Vamos abrir isso tudo em somas, olha só:

V = int_(- 3)^2 [36 - 6 y - 6 y^2 - ((6)^2)/(2) + (2 . 6 . y)/(2) - (y^2)/(2) + (y^4)/(2) - 6 y + y^2 + y^3] d y

Meu pai amado...

Horrível né, eu sei! Mas vamos juntos, com calma para não errar nada:

V = int_(- 3)^2 [18 d y - 6 y^2 d y - (y^2)/(2) d y + (y^4)/(2) d y - 6 y d y + y^2 d y + y^3 d y]

Agora integrando:

V = [18 y - (6 y^3)/(3) - (y^3)/(6) + (y^5)/(10) - (6 y^2)/(2) + (y^3)/(3) + (y^4)/(4)] (y = 2)/(y = - 3)

Bom, vamos analisar separadamente, se tivermos:

y = 2 - (- 3) = 5

Caso y esteja elevado a uma potência par:

y^(p a r) = 2^(p a r) - (- 3)^(P a r) = 2^(p a r) - 3^(p a r)

Caso seja ímpar:

y^(í m p a r) = 2^(í m p a r) - (- 3)^(í m p a r) = 2^(í m p a r) + 3^(í m p a r)

Pegou a ideia?? Com esse raciocínio, vamos aplicar os limites então:

V = [18 (5) - 2 (8 + 27) - (8 + 27)/(6) + (32 + 243)/(10) - 3 (4 - 9) + (8 + 27)/(3) + (16 - 81)/(4)]

Conversa com a calculadora aí, faz carinho e pede para que ela gentilmente te mostre que:

V = (625)/(12)

Achou aí?? Terminamos então... see you.

Resposta

Concluimos que o volume do sólido W é:

V = (625)/(12) tilde= 52,08

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