Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:

(e) W = {(x, y, z) ∈ R^3 z ≥ 1 ; x + y + z ≤ 7 ; x ≥ y^2} .

Passo 1

Eaaaeeee, vamo chamar essa questão na xincha! Vem comigo...

O enunciado nos da algumas regiões ali, vamos tentar esboçar elas:

Achamos algo mais ou menos assim; onde aquela partinha em amarelo ali é o nosso sólido. Perceba que ele está limitado pela superfície x = y 2 (amarelo), e pelos planos z = 1 e x + y + z = 7 .

Bom, vamos ver como a projeção desse cara se comporta no plano x y ? É como se você tivesse vendo a figura de cima:

Teremos isso, onde a parte hachurada é quem nos interessa.

“huumm não sei não cara, não consigo enxergar isso...?!” Beleza, vou tentar te convencer utilizando a Tia Mat.

Essas projeções nada mais são do que as intersecções entre os bangs. Olha só:

x + y + z = 7

Interceptando o plano z = 1 , teremos:

x + y = 6

Que é? Uma reta decrecente, isso mesmo:

y = 6 - x

Ela ta ali na imagem certo?

E agora a parábola?? É a

x = y 2

Sem segredos.

Passo 2

Tá, então vamos tentar determinar os limites da integração:

Perceba que o z sai do plano z = 1 até encontrar o plano x + y + z = 7 , então teremos:

1 ≤ z ≤ 7 - x - y

E o y , repare que ele pode ser encontrado utilizando as intersecções:

y = 6 - x

Mas x = y 2 , então:

y 2 + y - 6 = 0

Portanto, os limites de y serão:

y = - 1 ± 25 2 = y 1 = - 3 y 2 = 2

Ou seja:

- 3 ≤ y ≤ 2

E por último o x ; note que partindo da origem e saindo no sentido positivo do eixo x , primeiro encontramos a parábola, e continuando no eixo depois encontramos a reta; ou seja:

y 2 ≤ x ≤ 6 - y

Sacou a parada?

Passo 3

Então no final das contas o volume desse trem vai ser definido assim:

∫ - 3 2 ∫ y 2 6 - y ∫ 1 7 - x - y d x   d y   d z

Certo?? Nããããooo.... Muito cuidado, mas muito cuidado mesmo com a ordenação dos diferenciais. Sempre de dentro pra fora, olha só:

V = ∫ - 3 2 ∫ y 2 6 - y ∫ 1 7 - x - y d z   d x   d y

Agooraa siiimm... Let’s bora:

V = ∫ - 3 2 ∫ y 2 6 - y 7 - x - y - 1 d x   d y

V = ∫ - 3 2 ∫ y 2 6 - x 6 d x - x   d x - y   d x d y

A próxima:

V = ∫ - 3 2 6 x - x 2 2 - y x d y x = 6 - y x = y 2

V = ∫ - 3 2 6 6 - y - y 2 - 6 - y 2 - y 2 2 2 - y 6 - y - y 2 d y

Vamos abrir isso tudo em somas, olha só:

V = ∫ - 3 2 36 - 6 y - 6 y 2 - 6 2 2 + 2 .   6   . y 2 - y 2 2 + y 4 2 - 6 y + y 2 + y 3 d y

Meu pai amado...

Horrível né, eu sei! Mas vamos juntos, com calma para não errar nada:

V = ∫ - 3 2 18   d y - 6 y 2 d y - y 2 2 d y + y 4 2 d y - 6 y   d y + y 2 d y + y 3 d y  

Agora integrando:

V = 18 y - 6 y 3 3 - y 3 6 + y 5 10 - 6 y 2 2 + y 3 3 + y 4 4 y = 2 y = - 3

Bom, vamos analisar separadamente, se tivermos:

y = 2 - - 3 = 5

Caso y esteja elevado a uma potência par:

y p a r = 2 p a r - - 3 P a r = 2 p a r - 3 p a r

Caso seja ímpar:

y í m p a r = 2 í m p a r - - 3 í m p a r = 2 í m p a r + 3 í m p a r

Pegou a ideia?? Com esse raciocínio, vamos aplicar os limites então:

V = 18 5 - 2 8 + 27 - 8 + 27 6 + 32 + 243 10 - 3 4 - 9 + 8 + 27 3 + 16 - 81 4

Conversa com a calculadora aí, faz carinho e pede para que ela gentilmente te mostre que:

V = 625 12

Achou aí?? Terminamos então... see you.

Resposta

Concluimos que o volume do sólido W é:

V = 625 12 ≅ 52,08

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