Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do circulo x 2 + y 2 ≤ 1   em torno da reta x + y = 2

Passo 1

Bem, primeiramente vamos percerber que se fizermos uma rotação em uma esfera, ao redor do seu centro, ela sempre sera igual. Além disso, podemos percerber que a distância do centro da esfera até a reta x + y = 2 é √ 2 . Ou seja, girar a esfera ao redor da reta x + y = 2 é análogo a girar, no eixo x , uma esfera de mesmo raio, com origem em y 0   = 2 e x 0 = 0 . Portanto, vamos focar nessa esfera.

Para calcular esse solido de revolução, vamos ter que calcular a rotação da parte de cima da esfera, ou seja temos que girar o seguinte gráfico:

Porém, esse sólido não representa a esfera, para isso precisamos retirar a parte inferior, ou seja, temos que retirar a parte:

Dessa parte, a integral do volue se torna:

V =   ∫ - 1 1 π   2 + 1 - x 2 2 d x - ∫ - 1 1 π 2 - 1 - x 2   2   d x

V =   ∫ - 1 1 π   2 + 1 - x 2 + 2 2 1 - x 2   d x - ∫ - 1 1 π 2 + 1 - x 2 - 2 2 1 - x 2     d x

V =   ∫ - 1 1 π   4 2 1 - x 2 d x

Bem, como - 1 ≤ x ≤ 1 , podemos fazer a seguinte substituição:

sin ⁡ u = x

cos ⁡ u   d u = d x

V =   ∫ - π / 2   π / 2   π   4 2 1 - sin 2 ⁡ u   cos ⁡ u   d u = ∫ - π / 2   π / 2     π   4 2 cos 2 ⁡ u     cos ⁡ u   d u    

V =   ∫ - π / 2 π / 2 π   4 2   cos 2 ⁡ u   d u = ∫ - π / 2 π / 2 π   4 2 1 + cos ⁡ 2 u 2     d u        

V = π   2 2     π + 0 = 2 2     π 2

Resposta

V = 2 2     π 2

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