Enunciado

A região limitada abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = 4 será dividida em duas subseções de área igual, sendo cortada transversalmente pela reta horizontal y = c .

a. Esboce a região e, através dela, trace a reta y = c , onde parecer certo. Em termos de c , quais são as coordenadas dos pontos em que a reta e a parábola se cruzam? Adicione-as à figura.

Passo 1

Inicialmente esboçaremos a região que compreende a região entre limitada abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = 4 .

Cuja área corresponde:

∫ - 2 2 4 - x 2 d x

= 4 x - x 3 3 ​ - 2 2

= 4 ( 2 ) - ( 2 ) 3 3 - 4 ( - 2 ) - ( - 2 ) 3 3

= 8 - 8 3 - - 8 - - 8 3

= 16 3 - - 8 + 8 3

= 16 3 - - 16 3

= 16 3 + 16 3

= 2 16 3

= 32 3

Passo 2

Em seguida, encontraremos a solução do item a, para isso utilizaremos as informações dadas no enunciado a respeito da reta y = c para traça-la e determinar a sua interseção com a curva y = x 2 .

Sabemos que y = c é uma reta horizontal, que divide a seção determinada interiormente em duas subseções de área igual.

Além disso, para determinar a interseção entre y = c e y = x 2 precisamos que

y = x 2 = c = y

⇒ x 2 = c

⇒ x = ± c

Ou seja, a interseção entre eles são os pontos   - c , c e c , c .

Sendo assim quando formos determinar a posição de y = c , ela será da forma:

Passo 3

Nosso objetivo agora é solucionar o item b, ou seja, precisamos determinar o valor de c com relação a variável y , mas antes disso valor utilizar as informações que temos.

Sabemos que y = c é uma reta horizontal, que divide a seção determinada interiormente em duas subseções de área igual, ou seja, a área da nova região que queremos calcular é igual a:

32 3 2   = 32 3 . 1 2 = 32 6

c , é que y = x 2 , está em relação a variável x , porém, a integral que calcularemos é em relação a y . Sendo assim precisamos fazer a seguinte manipulação:

y = x 2 ⇒ x = ± y

Ou seja, em relação a y   temos as seguintes curvas:

Onde a área que queremos calcular em relação a y começa em 0 e vai até c .

Logo, para determinar calcularemos a seguinte integral :

∫ 0 c y - ( - y ) d y = 32 6

Isso, pois em relação a y a integral entre área é corresponde a integral da curva da “frente “ menos a curva de “traz ”

⇒ ∫ 0 c y + y d y = 32 6

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

⇒ 2 ∫ 0 c y d y = 32 6

Utilizando o fato de y = y 1 2

⇒ 2 ∫ 0 c y 1 2 d y = 32 6

⇒ 2 . 2 3 y 3 2 ​ 0 c = 32 6

⇒ 4 3 y 3 2 ​ 0 c = 32 6

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

⇒ 4 3 ( c ) 3 2 - ( 0 ) 3 2 = 32 6

⇒ 4 3 ( c ) 3 2 - 0 = 32 6

⇒ ( c ) 3 2 = 32 6 . 3 4

⇒ c 3 2 = 32 2 . 1 4

⇒ c = 32 8 2 3

⇒ c = 4 2 3

Portanto,   c = 4 2 3

Passo 4

Nosso objetivo agora é solucionar o item c, ou seja, precisamos determinar o valor de c com relação a variável y , mas antes disso valor utilizar as informações que temos.

Sabemos que y = c é uma reta horizontal, que divide a seção determinada interiormente em duas subseções de área igual, ou seja, a área da nova região que queremos calcular é igual a:

32 3 2   = 32 3 . 1 2 = 32 6

Onde a área que queremos calcular em relação a x começa em - c e vai até c   .

x   temos as seguintes curvas:

Logo, para determinar calcularemos a seguinte integral :

∫ - c - c c - x 2 d x = 32 6

Isso, pois em relação a x a integral entre área é corresponde a integral da curva da “cima “ menos a curva de “baixo ”

⇒ c x - x 3 3 ​ - c c = 32 6

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

⇒ c c - c 3 3 - c - c - - c 3 3 = 32 6

⇒ c ( c ) - ( c ) 3 3 - c - c + ( c ) 3 3 = 32 6

Usando o fato c = c 1 2 ,

⇒ c ( c 1 2 ) - ( c 1 2 ) 3 3 - c - c 1 2 + ( c 1 2 ) 3 3 = 32 6

Utilizando as propriedade de potências que c c 1 2 = c 1 + 1 2 e ( c 1 2 ) 3 = c 1 2 . 3

⇒ c 3 2 - c 3 2 3 - - c 3 2 + c 3 2 3 = 32 6

⇒ 2 c 3 2 3 - - 2 c 3 2 3 = 32 6

⇒ 2 c 3 2 3 + 2 c 3 2 3 = 32 6

⇒ 2 2 c 3 2 3 = 32 6

⇒ 4 c 3 2 3 = 32 6

⇒ c 3 2 = 32 6 . 3 4

⇒ c 3 2 = 32 2 . 1 4

⇒ c = 32 8 2 3

⇒ c = 4 2 3

Portanto,   c = 4 2 3 .

Resposta

Item a. A interseção entre y = c e y = x 2 são os pontos   - c , c e c , c .

y ,   c = 4 2 3 .

Item c. Em relação a x ,   c = 4 2 3 .

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