Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y , do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

y 2 ≤ 2 x - x 2 ,   y ≥ 0

Passo 1

Uma questão um pouco diferente, por não conter as inequações em função apenas de y , então, inicialmente vamos colocar em função de y :

y 2 ≤ 2 x - x 2

y 2 + x - 1 2 ≤ 1

Região interna de uma circunferência de raio 1 e centro ( 1,0 )

y 2 ≤ 1 - x - 1 2

y ≥ 0

E agora da interseção entre esses dois gráficos, que está em verde, já com as retas que delimitam em preto.

Passo 2

Nosso maior problema será a integração, então, anotaremos as informações para começarmos logo!

Intervalo de integração será de

0   a   2

Nossa função será y = 1 - x - 1 2

E a fórmula do volume é essa aqui ó:

  V = 2 π ∫ x y d x

Substituindo “dentro” da integral, teremos esse negócio aqui:

V = 2 π ∫ 0 2 x 1 - x - 1 2 d x

Essa integral não é imediata, iremos fazer uma mudança de variável:

u = x - 1

u + 1 = x

Derivando para obtermos d x , teremos:

d u = d x

Agora colocando tudo que tem u dentro da integral:

∫ x 1 - x - 1 2 d x = ∫ ( u + 1 ) 1 - u 2 d u = ∫ u 1 - u 2 d u + ∫ 1 - u 2 d u

Passo 3

Focaremos nossa atenção na integral abaixo:

∫ u 1 - u 2 d u + ∫ 1 - u 2 d u

O método de resolução dela é por substituição trigonométrica, então vou botar o triângulo retângulo para auxiliar a gente, sem desespero, só precisamos ser organizados!

O cateto AB será dado pela função f ( x ) =   1 - u 2

O cateto BC será dado pela função h ( x ) = u

E a hipotenusa será dada pela função g ( x ) = 1

sin ⁡ θ = 1 - u 2  

cos ⁡ θ = u

Derivando, temos:

- sin ⁡ θ d θ = d u

Substituindo tudo na integral da questão, temos:

∫ u 1 - u 2 d u + ∫ 1 - u 2 d u = ∫ sin ⁡ θ c o s θ - sin ⁡ θ d θ + ∫ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ

Deixando essa integral mais amigável:

∫ sin ⁡ θ c o s θ - sin ⁡ θ d θ + ∫ sin ⁡ θ - sin ⁡ θ d θ = - ∫ s in 2 ⁡ θ c o s θ d θ - ∫ s i n 2 θ d θ

Calcularemos as integrais uma de cada vez

∫ s in 2 ⁡ θ c o s θ d θ

Chamaremos:

sin ⁡ θ = v

Derivando, temos:

cos ⁡ θ d θ = d v

- ∫ s in 2 ⁡ θ c o s θ d θ = - ∫ v 2 d v = - v 3 3 + c = - sin ⁡ θ 3 3 + c

- ∫ s i n 2 θ d θ = - θ 2 + sin ⁡ θ c o s θ 2 + c

Lembrando que:

- ∫ s in 2 ⁡ θ c o s θ d θ - ∫ s i n 2 θ d θ =   = - sin ⁡ θ 3 3 - θ 2 + sin ⁡ θ c o s θ 2 + c

Lembrando que:

sin ⁡ θ = 1 - u 2  

cos ⁡ θ = u cos - 1 ⁡ u = θ

Voltando a variável em u, temos isso aqui ó:

∫ u 1 - u 2 d u + ∫ 1 - u 2 d u = - 1 - u 2 3 3 - cos - 1 ⁡ u 2 + u 1 - u 2 2 + c

Voltando agora a variável em x , não se embole, anote sempre as coisas, assim:

u =   x - 1

1 - u 2 = 1 - x - 1 2 = 1 - x 2 - 2 x + 1 = 2 x - x 2

Colocando para dentro da integral, está acabando, vamos lá

∫ x 1 - x - 1 2 d x =   - 2 x - x 2 3 3 - cos - 1 ⁡ x - 1 2 + x - 1 2 x - x 2 2 + c

Agora como último ato dessa questão, faremos a definida, uma vez que calculamos a indefinida acima:

V = 2 π ∫ 0 2 x 1 - x - 1 2 d x = 2 π - 2 x - x 2 3 3 - cos - 1 ⁡ x - 1 2 + x - 1 2 x - x 2 2 2 0 = 2 π - - π 2 = π 2

Resposta

V = π 2

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