Enunciado

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

y = x 2 ,   0 ≤ x ≤ 2 ,   y = 4 ,   x = 2 ,   a o   r e d o r   d o   e i x o   y

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos um caso de rotação de uma região em torno de um eixo. Isso faz com que criemos um sólido, e nessa situação queremos saber o volume do tal sólido.

Vamos representar esse solido graficamente. Para x = y , teremos uma curva com parábola para cima devido ao sinal positivo, como x = 0 , então

A área da secção transversal desse solido, se vermos ele de frente, como na segunda figura, é uma circunferência

A = π x 2 = π y = π y

Anote essa área pois iremos utilizar ela para calcularmos o volume do sólido.

Podemos calcular o volume!!

Passo 2

Montando a integral:

V = ∫ 0 4 A ( x ) d x

Substituindo a área que encontramos:

V = ∫ 0 4 π y d y

Agora é só calcularmos a integral:

V = π ∫ 0 4 ( y ) d y

V = π y 2 2 0 4

= π [ 4 2 2 - 0 2 2 ]

V = 8 π

Resposta

V = 8 π

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