Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

x 2 + ( y - 2 ) 2 ≤ 1

Passo 1

Da para notar que essa questão tem um enunciado um pouco diferente, normalmente temos o y isolado. Então faremos isso, isolaremos o y :

x 2 + ( y - 2 ) 2 ≤ 1

( y - 2 ) 2 ≤ 1 - x 2

Tirando as raízes quadradas, temos isso aqui ó:

- 1 - x 2 ≤ y - 2 ≤ 1 - x 2

Somando 2 de cada lado temos:

2 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 2 + 1 - x 2

Agora nosso problema é fazer os volumes:

V 1

y ≤ 2 + 1 - x 2

V 2

y ≥ 2 - 1 - x 2

Passo 2

Com as funções já devidamente isoladas, daremos uma olhadinha nos gráficos, pois eles ajudarão a compreender o que está ocorrendo:

O gráfico em azul representa a região de volume V 1 : y ≤ 2 + 1 - x 2

O gráfico em vermelho representa a região de volume V 2 :

y ≥ 2 - 1 - x 2

Em verde está a interseção, que é a região interna da circunferência da questão.

O Volume dessa figura rotacionada em torno do eixo x , será dado por:

V = V 1 - V 2

E os limites de integração serão de - 1 a 1 .

Nesse passo, faremos a integral para acharmos a função. Vamos lá!

Faremos V 1 :

y 2 = 4 + 4 1 - x 2 + 1 - x 2

y 2 = 5 + 4 1 - x 2 - x 2

V 1 = π ∫ - 1 1 5 + 4 1 - x 2 - x 2 d x

Quebrando a integral e tirando as constantes de dentro da integral, temos:

V 1 = π 5 ∫ - 1 1 d x + 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

Faremos V 2 :

y 2 = 4 - 4 1 - x 2 + 1 - x 2

y 2 = 5 - 4 1 - x 2 - x 2

V 2 = π ∫ - 1 1 5 + 4 1 - x 2 - x 2 d x

Quebrando a integral e tirando as constantes de dentro da integral, temos:

V 2 = π 5 ∫ - 1 1 d x - 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

Passo 3

Nesse momento, teremos uma estratégia diferente das questões anteriores, antes fazíamos a integral de cada volume e depois subtraíamos, agora iremos subtrair antes, vamos sem medo:

V = V 1 - V 2

V =   π 5 ∫ - 1 1 d x + 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x - π 5 ∫ - 1 1 d x - 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

Perceba que o primeiro e o último termo são iguais, então quando subtrairmos eles irão ficar igual a zero. Assim ó:

5 ∫ - 1 1 d x - 5 ∫ - 1 1 d x = 0

- ∫ - 1 1 x 2 d x - - ∫ - 1 1 x 2 d x = 0

E o termo do meio será somado:

+ 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x - - 4 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x = 8 ∫ - 1 1 1 - x 2 d x

O nosso volume será dado por:

V =   8 π ∫ - 1 1 1 - x 2 d x

E agora finalmente, reduzimos nosso problema a uma integral definida, mas qual o método de integração ?

Integração por substituição trigonométrica, meu caro futuro engenheiro:

O cateto AB será dado pela função f ( x ) =   1 - x 2

O cateto BC será dado pela função h ( x ) = x

E a hipotenusa será dada pela função g ( x ) = 1

sin ⁡ θ = 1 - x 2  

cos ⁡ θ = x

Derivando, temos:

- sin ⁡ θ d θ = d x

Substituindo tudo na integral da questão, temos:

∫ 1 - x 2 d x = - ∫ sin 2 ⁡ θ d θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 - θ 2 =   x 1 - x 2 2 - cos - 1 ⁡ x 2

Faremos agora a integral do problema que era:

V =   8 π ∫ - 1 1 1 - x 2 d x = 8 π   x 1 - x 2 2 1 - 1 - cos - 1 ⁡ x 2 1 - 1 = 8 π π 2 = 4 π 2

Resposta

V = 4 π 2

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