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Nos Exercícios 15-18, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo dado.

17-

Em torno do eixo y

Passo 1

Como nos foi mandado rotacionar em torno do eixo y vamos isolar x da equação pois ele será nosso raio, o que já foi nos dado.

x = t g π y 4

Passo 2

Como em y o gráfico foi limitado de 0 a 1 temos nossa integral.

V = ∫ 0 1 π t g π y 4 2 d y

Tirando a constante da integral e abrindo nosso raio temos:

V = π ∫ 0 1 t g 2 π y 4 d y

Fazendo a integral ∫ t g 2 π y 4 d y temos:

Substituindo u = π y 4

Encontramos d u = π 4 d y

Logo:

4 d u π = d y

O que nos dá:

∫ 4 π t g 2 u d u   = 4 π ∫ t g 2 u   d u

Porém podemos usar secante invés de tangente da seguinte forma:

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ u

t g 2 u + 1 = sec 2 ⁡ u

t g 2 u = sec 2 ⁡ u - 1

Substituindo na integral temos:

4 π ∫ ( - 1 + sec 2 ⁡ u ) d u

Porém sabemos que a derivada da tangente é secante ao quadrado, logo a integral da secante ao quadrado é a tangente, logo:

4 π ( - u + tg ⁡ u )

Como não queremos em relação a u e sim em relação a y .(poderíamos fazer as relações direto para u, para isso precisaríamos achar-las com as de y em u = π y 4

V = π 4 π - π y 4 + tg ⁡ π y 4 + c

Não esquecer do π do Volume!

Passo 3

Como precisamos aplicar os parâmetros:

V = 4 - π y 4 + t g π y 4 0 1

V = 4 - π 4 + t g π 4 - 4 π - 0 + t g 0

V = 4 - π 4 + 1

V = - π + 4

Resposta

V = - π + 4

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