Enunciado

29–32 Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

30. 2 π ∫ 0 2 y 1 + y 2 d y

Passo 1

Fala aí, tudo certinho? 😬

Nesse problema temos que representar o volume do solido gerado pela integral 2 π ∫ 0 2 y 1 + y 2 d y .

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

Pelos métodos das cascas cilíndricas, temos que:

V = ∫ a b 2 π x f x - h x d x

Que é o volume obtido pela rotação da região limitada entre as curvas f ( x ) e h x em torno do eixo y de a até b .

Lembra disso? 😉

Passo 2

Analisando a integral dada, podemos reescrevê-la como...

2 π ∫ 0 2 y 1 + y 2 d y = ∫ 0 2 2 π y 1 1 + y 2 d y  

Essa integral é o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva x = 1 1 + y 2 e 0 ≤ y ≤ 2 em torno do eixo x se considerarmos h x = 0 .

Isso porque se compararmos com a fórmula do método no passo 1, vemos que

∫ a b 2 π x f x - h x d x = ∫ 0 2 2 π y 1 1 + y 2 d y  

a = 0 , b = 2 e f - h = 1 1 + y 2 ...

A única adaptação que temos que ter em mente é que nesse problema a rotação acontece em torno do eixo x .

E aí! Entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

Essa integral é o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva x = 1 1 + y 2 e 0 ≤ y ≤ 2 em torno do eixo

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = 2 , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelo gráfico de y = 2 x - 1 6 x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região
1 – 12. Resolva os Exercícios de 5 a 16 da seção 6.1 pelo método do invólucro cilíndrico.Nos Exercícios, ache o volume do sólido de revolução descrito quando a região dada da figura for rotacionada em
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